Tangens kąta

[Gustllik]

Witam.

W tym roku zacząłem studiować kierunek techniczny.
Aktualnie mam pochodne, całki itp.
Na matematyce dostałem do wykonania w domu 20 różnych funkcji. Są funkcje prostsze ale są i trudniejsze.

Aby poprawnie narysować wykresy muszę mieć współrzędne punktów oraz kąt pod jakim funkcja się zakrzywia itp. Punkty znalazłem, to żaden problem, lecz nie wiem jak obliczyć kąt który pozwoli mi pod odpowiednim kątem wyprofilować krzywiznę funkcji w załóżmy dowolnym punkcie na osi x. Jak dobrze mi się gdzieś obiło o uszy to trzeba obliczyć tangens kąta z zastosowaniem pochodnych?
Nic mi nie przychodzi do głowy więc tu piszę prosząc o pomoc.

Funkcja to \(\displaystyle{ y=x^{3}}\)
W załączonym pliku narysowałem taką prostą funkcję y. Najbardziej interesuje mnie kąt pod jakim wychodzi styczna w punkcie przykładowym 0,5, ale można też obliczyć w punkcie 0,7. Oczywiście funkcja z drugiej strony będzie szła identycznie więc już nie rysowałem dalej.

[Dilectus]

Pierwsza pochodna funkcji w jakimś punkcie \(\displaystyle{ x _{p}}\) jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu w tym punkcie. Oczywiście, funkcja musi być ciągła i różniczkowalna w tym punkcie.

[Gustllik]

Więc to będzie tak w punkcie 0,5 ?
\(\displaystyle{ f'(x)= (x^{3})'}\)
\(\displaystyle{ f'(x)= 3x^{2}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)= 3\cdot(0,5)^{2}=0,75=37 stopni}\)

[loitzl9006]

tak to działa

[Gustllik]

A gdy będziemy mieć taką funkcję \(\displaystyle{ y=3x}\) , z tego pochodna to \(\displaystyle{ y= 3}\) . Gdzie tu podstawić ten punkt 0.5?

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ y'(x)=3}\) - to jest funkcja stała - więc w punkcie \(\displaystyle{ 0.5}\) jej wartość jest \(\displaystyle{ 3}\) czyli \(\displaystyle{ \tg\alpha=3 \ \to \ \alpha\approx72^\circ}\)

[Gustllik]

A dlaczego gdy rysuję funkcje na papierze to wychodzi ładnie zakrzywiona, a gdy wpiszę y=3x w program to rysuje funkcję jako linię która nie ma żadnych krzywizn. Podejrzewam że program dla tej funkcji bierze tangens czyli 72 stopnie dla punktu 0. A gdy ja biorę te 72 stopnie dla punktu 0,5 to musi wyjść krzywizna zeby funkcja przeszła przez początek układu. Która z tych wersji jest poprawna?

[Ania221]

\(\displaystyle{ y=3x}\) to jest równanie prostej.

[Dilectus]

A dlaczego gdy rysuję funkcje na papierze to wychodzi ładnie zakrzywiona

Jaką funkcję?

[Gustllik]

Ajajaj mój błąd... oczywiście że to jest prosta więc wykres będzie prostą a nie jak dla funkcji wykładniczej wykres z zakrzywieniami. Przepraszam za głupi błąd...-- 25 paź 2014, o 23:00 --Ponownie muszę poprosić o pomoc.

Mam do narysowania funkcję \(\displaystyle{ y= e^{-x^2}}\). Nie mogę obliczyć tg kąta, tzn. mogę ale wychodzi mi za mała wartość przez co krzywa ma nie odpowiednie zagięcie. Liczę to tak:

\(\displaystyle{ e \approx 2,72}\)

Punkty prostej: \(\displaystyle{ x_{1}=-1}\) ; \(\displaystyle{ y_{1}=~0,37}\) \(\displaystyle{ ,}\) \(\displaystyle{ x_{2}=0}\) \(\displaystyle{ ;}\) \(\displaystyle{ y_{2}=1}\) \(\displaystyle{ ,}\) \(\displaystyle{ x_{3}=1}\) \(\displaystyle{ ;}\) \(\displaystyle{ y_{3}=~0,37}\)

Załóżmy \(\displaystyle{ tg \alpha}\) kąta w punkcie \(\displaystyle{ 0,5}\)

Liczę pochodną: \(\displaystyle{ f'(x)=e^{-x^2}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=-2e^{-x^2}x}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=-2 \cdot \frac{1}{0,68} \cdot 0,5= - \frac{1}{0,68} \approx 1,47 =tg \alpha 56}\)

Czy gdzieś robię błąd? W matematyce często mi zdarza popełniać błędy, nieraz bardzo widoczne a ja tego nie mogę wyłapać. Może i tu popełniam jakiś błąd z przedszkola i dlatego coś się nie zgadza.

Ogółem rzecz biorąc tę pochodną \(\displaystyle{ f'(x)=-2e^{-x^2}x}\) wziąłem z kalkulatora pochodnych, lecz pochodna z tej funkcji to po prostu będzie \(\displaystyle{ f'(x)= e^{-x^2}}\) i obliczenia wychodzą takie same.