Kiedy wartość wielomianu jest kwadratem liczby całkowitej.

[Pental]

Witam! Zastanawiam się, czy istnieje jakaś ogólna metoda, aby wyznaczyć argumenty funkcji wielomianowej, dla których przyjmuje ona wartość równą kwadratowi liczby całkowitej. Przykładowo liczba \(\displaystyle{ 4x^{4} + 12x^{2} + 4x + 1}\) na pewno jest kwadratem dla \(\displaystyle{ x = 0}\). Jak znaleźć wszystkie takie iksy?

Serdecznie dziękuję za wszelką pomoc!
Pental.

[lelel555]

Hm... skoro chcesz chcesz znaleźć \(\displaystyle{ x : W(x)=k^2 ,\; k\in \mathbb{Z}}\) to:
\(\displaystyle{ W(x)-k^2=0}\)
Łatwo zauważyć, że otrzymujesz nowy wielomian czwartego stopnia. Wystarczy go rozwiązać. Po wieku widzę, że jesteś jeszcze w liceum, ale na Twoje szczęście, wzory na rozwiązywanie wielomianu czwartego stopnia możesz znaleźć w wikipedii, czy google. Wzory Cardano to chyba były.

[Pental]

Poszukuję nieco prostszego rozwiązania. Naprawdę uważam, że te wzory są niekonieczne. Zauważyłem w Excelu, że ten wielomian przyjmuje za wartość kwadrat liczby całkowitej tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=2}\). Ale jak to uzasadnić? Jedyne, co jest oczywiste, to że x to liczba parzysta.

[norwimaj]

Jeśli wielomian przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 121}\), to przyjmuje też wszystkie pośrednie, między innymi \(\displaystyle{ 4,9,16,\ldots,100.}\) Ponadto wielomian ten jest nieograniczony z góry i przyjmuje wszystkie wartości \(\displaystyle{ n^2}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_+.}\)

[Pental]

Przepraszam. Oczywiście chodziło mi o argumenty będące liczbami całkowitymi. Nie miałem pojęcia, że o tym nie wspomniałem...

[norwimaj]

Ogólnej metody nie znam, ale w tym wypadku rozwiąż nierówności:

\(\displaystyle{ (2x^2+1)^2 < 4x^{4} + 12x^{2} + 4x + 1}\)

oraz

\(\displaystyle{ (2x^2+4)^2 > 4x^{4} + 12x^{2} + 4x + 1.}\)