Wielomiany

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
matika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 23 maja 2007, o 00:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Wielomiany

Post autor: matika »

Liczby \(\displaystyle{ x_{1}=\lim_{x\to }\frac{1+2n-3n^{2}}{3n^{2} -n+4}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=\int\limits_{0}^{\frac{\Pi}{3}}(\sqrt{3}cosx-sinx)dx}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ 2x^{4}+ax^{3}-8x^{2}+x+b}\)
a) znajdź współczynniki a i b
b) oblicz pozostałe pierwiastki wielomianu.
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Wielomiany

Post autor: Tristan »

\(\displaystyle{ x_{1}= \lim_{n \to } \frac{-3n^2 +2n+1}{ 3n^2 -n+4}= \lim_{n \to } \frac{ -1 + \frac{2}{3n} + \frac{1}{3n^2}}{ 1+ \frac{-1}{3n} + \frac{4}{3n^2} }= \frac{-1}{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\int_{0}^{ \frac{ \pi}{3}} ( \sqrt{3} \cos x - \sin x) dx= [ \sqrt{3} \sin x + \cos x]_{0}^{ \frac{ \pi}{3}} =1}\)
Ad a:
Z warunków zadania otrzymujemy układ równań \(\displaystyle{ W(x_{1})=W(-1)=0 W(x_{2})=W(1)=0}\), czyli \(\displaystyle{ -a+b-7=0 a+b-5=0}\), skąd mamy \(\displaystyle{ a=-1 b=6}\).
Ad b:
Podstawiając otrzymane a i b mamy:
\(\displaystyle{ W(x)=2x^4 -x^3 -8x^2 +x+6 \\ W(x)=2x^4 -2x^3 +x^3 -x^2 -7x^2 +7x -6x+6 \\ W(x)=2x^3 (x-1) + x^2(x-1) -7x(x-1) -6(x-1) \\ W(x)=(x-1)(2x^3 +x^2 -7x -6) \\ W(x)=(x-1)( 2x^3 +2x^2 - x^2 -x -6x - 6) \\ W(x)= (x-1) [ 2x^2(x+1) - x(x+1) -6(x+1)] \\ W(x)=(x-1)(x+1)( 2x^2 - x-6) \\ W(x)=2(x-1)(x+1)( x+ \frac{3}{2} )( x-2)}\)
ODPOWIEDZ