Rozkład wielomianu stopnia czwartego

[Konradek]

Rozłóż wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4+x^3+1}\).

[Dilectus]

Się nie da...

[Konradek]

Zdaje się, że twierdzenie
Każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ n \ge 3}\) daje się przedstawić za pomocą iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
jest prawdziwe dla wszystkich współczynników rzeczywistych.

[Qń]

Dla dowolnego wielomianu żądany rozkład co prawda istnieje, ale jeśli wielomian jest stopnia co najmniej piątego, to nie istnieje algorytm pozwalający konstruktywnie wyznaczać taki rozkład, o czym mówi .

Ale ten akurat wielomian jest stopnia niższego niż \(\displaystyle{ 5}\), a na to są co prawda paskudne, ale jednak .

Q.

[Konradek]

Okej, otrzymałem
\(\displaystyle{ u^4 - \frac{3}{8}u^2 + \frac{1}{8}u + \frac{253}{256}}\), gdzie \(\displaystyle{ u=x+\frac{1}{4}}\)
i co mi to właściwie dało?

[Qń]

No przecież na Wikipedii jest opisane jak wygląda dalsze postępowanie. Ewentualnie możesz też znaleźć zrobione przykłady na forum:
227371.htm
345000.htm

Q.

[Mariusz M]

Zakładając że dobrze podstawiłeś możesz teraz porównać ten wielomian z
iloczynem dwóch trójmianów kwadratowych
\(\displaystyle{ u^4 - \frac{3}{8}u^2 + \frac{1}{8}u + \frac{253}{256}=\left( u^2-pu+q\right)\left( u^2+pu+r\right)}\)

Po wymnożeniu trójmianów i porównaniu współczynników dostajesz układ równań
którego rozwiązanie na ogół wymaga rozwiązania równania trzeciego stopnia

[Konradek]

\(\displaystyle{ \begin{cases} q-p^{2}+r = - \frac{3}{8} \\ pq-pr= \frac{1}{8} \\ qr= \frac{253}{256} \end{cases}}\)
Metoda wyznaczników odpada (no, chyba że jest taka, która uwzględnia iloczyny niewiadomych?)
Zatem wyrugowałem z tego układu \(\displaystyle{ r}\) i otrzymałem:
\(\displaystyle{ \begin{cases}q-p^{2}+\frac{253}{256q}=-\frac{3}{8} \\pq- \frac{253p}{256q}= \frac{1}{8} \end{cases}}\)
Nawet jeżeli rozszerzę to tak, by pozbyć się ułamków nic mi nie świta.

Bądźcie wyrozumiali - 3 klasa liceum.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ p}\) staje się twoim parametrem , uzależniasz od niego pozostałe współczynniki
Po uzależnieniu wszystkich współczynników , wstawiając otrzymane zależności do
równania na wyraz wolny otrzymujesz równanie szóstego stopnia względem \(\displaystyle{ p}\)
które łatwo zredukować do równania trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ \begin{cases} q-p^{2}+r = - \frac{3}{8} \\ pq-pr= \frac{1}{8} \\ qr= \frac{253}{256} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q+r = - \frac{3}{8}+p^2 \\ p\left( q-r\right) = \frac{1}{8} \\ qr= \frac{253}{256} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q+r = - \frac{3}{8}+p^2 \\ q-r = \frac{1}{8p} \\ qr= \frac{253}{256} \end{cases}}\)

Teraz dodaj stronami pierwsze dwa równania a otrzymasz \(\displaystyle{ q}\)
Odejmij drugie od pierwszego a otrzymasz \(\displaystyle{ r}\)


Jedna uwaga na wypadek gdybyś miał jeszcze jakieś
wielomiany czwartego stopnia do rozłożenia

Jeśli po podstawieniu \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
otrzymasz równanie \(\displaystyle{ y^2+b_{2}y^2+b_{1}y+b_{0}}\)
gdzie \(\displaystyle{ b_{1}=0}\)
to sprowadzaj do kwadratowego np podstawieniem bez zabawy w rozkład na iloczyn dwóch trójmianów-- 15 października 2014, 10:57 --Konradek, trygonometrię miałeś ?
Może ci się przydać jeśli po zredukowaniu równania trzeciego stopnia do
równania kwadratowego równanie kwadratowe będzie miało ujemny wyróżnik