Wyznacz współczynniki a,b,c,d wielomianu

[mar4321]

Witam,

Zadanie jest następujące:

Dany jest wielomian

\(\displaystyle{ W(x) = ax ^{3} + bx ^{2} +cx+d}\)

Oblicz \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) wiedząc, że pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) są liczby: \(\displaystyle{ 1,2,3}\) i \(\displaystyle{ W(-1) = (-12)}\)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu

[kerajs]

Skoro 1,2,3 sa pierwiastkami wielomianu W to można go przedstawić w postaci iloczynowej tak:
\(\displaystyle{ W(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)}\)
Wykorzystując równość z treści zadania masz:
\(\displaystyle{ a(-1-1)(-1-2)(-1-3) =a(-12-1)(-12-2)(-12-3)}\)
Z tego wylicz ,,a', a z przejścia z postaci iloczynowej do ogólnej otrzymasz pozostałe wspólczynniki.

[oktafka]

\(\displaystyle{ W(1)=0 \rightarrow a+b+c+d=0}\)

\(\displaystyle{ W(2)=0 \rightarrow 8a+4b+2c+d=0}\)

\(\displaystyle{ W(3)=0 \rightarrow 27a+9b+3c+d=0}\)

\(\displaystyle{ W(-1)=-12 \rightarrow -a+b-c+d=-12}\)

Rozwiązujesz układ równań:

\(\displaystyle{ a+b+c+d=0}\)

\(\displaystyle{ 8a+4b+2c+d=0}\)

\(\displaystyle{ 27a+9b+3c+d=0}\)

\(\displaystyle{ -a+b-c+d=-12}\)

Po dodaniu do siebie równań pierwszego i czwartego:

\(\displaystyle{ a-a+b+b+c-c+d+d=0-12}\)

\(\displaystyle{ 2b+2d=-12 \rightarrow b+d=-6 \rightarrow b=-d-6}\)

itd.

[mar4321]

Taki jestem zdolny że nie mogę sobie poradzić. Bardzo bym prosił o skończenie obliczeń

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \left( -1,-12\right)\\
\left( 1,0\right)\\
\left( 2,0\right)\\
\left( 3,0\right) \\}\)

\(\displaystyle{ -12 \cdot \frac{\left( x-1\right)\left( x-2\right)\left( x-3\right) }{\left( -1-1\right)\left( -1-2\right)\left( -1-3\right) }=\frac{1}{2}\left( x-1\right)\left( x-2\right)\left( x-3\right)\\
= \frac{1}{2}\left( x^2-3x+2\right)\left( x-3\right)\\
= \frac{1}{2}\left( x^3-6x^2+11x-6\right)}\)

Jak masz dane punkty to wielomian możesz znaleźć korzystając ze wzoru

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}{y_{i}\prod_{\substack{j=0\\j\neq i}}^{n} { \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} }}}\)

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ a+b+c+d=0}\)

\(\displaystyle{ 8a+4b+2c+d=0}\)

\(\displaystyle{ 27a+9b+3c+d=0}\)

\(\displaystyle{ -a+b-c+d=-12}\)

Oznaczając równania od góry kolejno \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) masz \(\displaystyle{ a=\frac{6A-8B+3C-D}{24},\ c=\frac{6A+8B-3C-11D}{24}}\). Dwie pozostałe niewiadome sam dasz radę wyliczyć.