Równania wielomianowe wysokiego stopnia

[pagurek]

Bardzo proszę o pomoc przy rozwiązaniu kilku równań wielomianowych, lub chociaż naprowadzenie mnie na rozwiązanie tych zadań. Oto one:
1. \(\displaystyle{ P(x) = x^{4} - 9}\)
2. \(\displaystyle{ P(x) = x^{6} - 7x ^{3} - 8}\)
3. \(\displaystyle{ P(x) = 2x^{7} + 3x^{6} + 3x^{5} - 27x^{4} - 14x^{3}}\)
Bardzo dziękuję za wszelką pomoc.

[Zahion]

Co masz dokładnie zrobić ?
I w czym masz problem ?

[pagurek]

Przepraszam, zapomniałem napisać. Chodzi o doprowadzenie do najprostszej postaci. Długo nad nimi myślałem. Próbowałem użyć jakiegoś wzoru skróconego mnożenia, albo wyłączyć coś przed nawias, ale nic z tego nie wyszło.

[Premislav]

Napisałeś kilka wielomianów, ale żadnego równania wielomianowego.
Jeśli chodzi o pierwszy, możesz użyć wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (\(\displaystyle{ 2}\) razy). W drugim łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem i dalej powinno być łatwiej. W ogóle to najfajniej użyć tu grupowania: \(\displaystyle{ x^{6} - 7x ^{3} - 8=x^{6}-8x ^{3}+x ^{3}-8}\).
W trzecim znowu grupowanie: \(\displaystyle{ 2x^{7} + 3x^{6} + 3x^{5} - 27x^{4} - 14x^{3}=2x^{7}+x ^{6}+2x ^{6}+x ^{5}+2x ^{5}+x ^{4}-28x ^{4}-14x ^{3}}\) i wyłącz przed nawias \(\displaystyle{ 2x+1}\). Potem jeszcze \(\displaystyle{ x ^{3}}\) do wyłączenia.

[piasek101]

W 2) mógł też podstawiać \(\displaystyle{ x^3=t}\)

[AndrzejK]

Chodzi o doprowadzenie do najprostszej postaci.

Ale to jest najprostsza postać. Zapewne chodziło ci o rozłożenie wielomianu na czynniki.

[pagurek]

Czyli w trzecim przykładzie ostateczna forma będzie wyglądać tak?
\(\displaystyle{ x^{3}\left( x^{3} + x^{2} + ^{} x - 14\right)\left(2x + 1\right)}\)

[Zahion]

Rozłóż jeszcze wielomian \(\displaystyle{ T(x) = x^{3} + x^{2} + x - 14}\). Zauważ, że \(\displaystyle{ T(2) = 0 p}\).

[pagurek]

Już wszystko rozumiem, dziękuję za pomoc.