Wykaż prawdziwość nierówności.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
AndrzejK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 974
Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 102 razy

Wykaż prawdziwość nierówności.

Post autor: AndrzejK »

Wykaż, że \(\displaystyle{ x^4-x+1>0}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\).

Czy takie rozumowanie jest prawidłowe? :
Zauważmy, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4-x+1}\) nie ma żadnych pierwiastków rzeczywistych. W związku z tym spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ W(x)>0}\) lub \(\displaystyle{ W(x)<0}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\). Ale współczynnik wiodący wyjściowego wielomianu jest dodatni, zatem \(\displaystyle{ W(x)>0}\).
szw1710

Wykaż prawdziwość nierówności.

Post autor: szw1710 »

A dlaczego ten wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych? Jeśli to wykażesz, dalsza część rozumowania jest poprawna.
AndrzejK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 974
Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 102 razy

Wykaż prawdziwość nierówności.

Post autor: AndrzejK »

Hm. Może tak, że \(\displaystyle{ x^4-x>0}\) jest spełnione dla \(\displaystyle{ x \in R \ \left\langle 0; 1 \right\rangle}\). Dla \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0; 1 \right\}}\) jest spełnione, z tego względu, że do \(\displaystyle{ x^2-x}\) dodajemy \(\displaystyle{ 1}\). Natomiast dla \(\displaystyle{ x \in (0; 1)}\) spełnione jest \(\displaystyle{ 1>x}\), wic tym bardziej \(\displaystyle{ x^4+1>x}\).

W sumie myślałem też o pochodnych, ale nie chciałem ich używać, bo wolałem bardziej elementarną w formie metodę.

\(\displaystyle{ W'(x)=4x^3-1}\)
\(\displaystyle{ W'(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}\)
\(\displaystyle{ W'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{1}{\sqrt[3]{4}}, \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ W'(x)<0}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left(- \infty, \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \right)}\)
Zatem w punkcie \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, 1-\frac{3 \sqrt[3]{2}}{8}\right)}\) osiąga minimum, a \(\displaystyle{ 1-\frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} \approx 0,53>0}\)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Wykaż prawdziwość nierówności.

Post autor: bosa_Nike »

1. Wykaż, że \(\displaystyle{ L-x^2+x^2>0}\) lub
2. Dla \(\displaystyle{ x\le 0}\) nierówność jest oczywista, dla dodatnich użyj AM-GM.
AndrzejK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 974
Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 102 razy

Wykaż prawdziwość nierówności.

Post autor: AndrzejK »

Niestety nie potrafię korzystać z AM-GM . Czas najwyższy się tego nauczyć. Ale w międzyczasie wpadłem na inne rozwiązanie:
Równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ \left( x^2-\frac{1}{2} \right) ^2+ \left( x^2-x+\frac{1}{2} \right) +\frac{1}{4}>0}\)
Pierwszy składnik nieujemny, drugi dodatni (bo \(\displaystyle{ \Delta\left\langle 0 \wedge a \right\rangle0}\)), a trzeci dodatni. Zatem suma dwóch liczb dodatnich i jednej nieujemnej zawsze będzie dodatnia.
Ostatnio zmieniony 28 wrz 2014, o 20:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Wykaż prawdziwość nierówności.

Post autor: bosa_Nike »

\(\displaystyle{ L-x^2+x^2=\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>0}\)

\(\displaystyle{ x^4+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\ge 4\sqrt[4]{\frac{1}{3^3}x^4}> x}\), ponieważ \(\displaystyle{ 4^4>3^3}\)
szw1710

Wykaż prawdziwość nierówności.

Post autor: szw1710 »

Proponuję też inne rozwiązanie angażujące wypukłość funkcji. Podaję tylko ideę. Oczywiście \(\displaystyle{ f(x)=x^4+1}\) jest funkcją wypukłą, a więc zawsze jej wykres leży nad styczną. Szukamy stycznej równoległej do prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Będzie tak w punkcie \(\displaystyle{ x_0=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}\) (o ile się nie pomyliłem w rachunkach). Niech nasza styczna ma równanie \(\displaystyle{ y=x+b}\). Wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ b>0}\). Wtedy z wypukłości jest \(\displaystyle{ x^4+1\ge x+b>x}\), co daje nam nie tylko brak pierwiastków, ale też rozwiązanie całego zadania.
ODPOWIEDZ