Nierówność wielomianowa

[Girion23]

\(\displaystyle{ x ^{3} +2x ^{2} -11x+12 \le 0}\)

Nie chce wyjść, jakim sposobem to robić?

[mortan517]

Wielomian \(\displaystyle{ x ^{3} +2x ^{2} -11x+12 =0}\) ma tylko jedno miejsce zerowe. Niestety nie jest to liczba całkowita.

[Girion23]

Czyli tutaj trzeba zastosować twierdzenie o pierwiastkach wymiernych?

To jest nierówność na poziomie matematyki rozszerzonej?

[jarek4700]

Pierwiastek jest niewymierny, dobrze przepisałeś? Na rozszerzeniu też nie ma takich pierwiastków.

[a4karo]

Nie chce wyjść najprawdopodobniej dlatego, że zamiast \(\displaystyle{ 2x^2}\) w zadaniu było \(\displaystyle{ -2x^2}\).

Oryginalne równanie ma jeden rzeczywisty pierwiastek niewymierny. Jak zamienisz 2 na -2 to dostaniesz wielomian o pierwiastkach całkowitych

[mortan517]

Niestety, nie jest to liczba wymierna. Czy ja wiem? Chyba chodzi o to, żeby oszacować wartość pierwiastka metodą połowienia przedziałów, a później w przybliżeniu podać rozwiązanie.

No chyba że przykład jest źle przepisany.

[Zahion]

Możesz zawsze sprowadzić wielomian \(\displaystyle{ f(x) = x ^{3} +2x ^{2} -11x+12}\) do postaci \(\displaystyle{ f(x) = (x+ \frac{2}{3}) ^{3}- \frac{111}{9}(x+ \frac{2}{3})+ \frac{538}{27}}\) wstawić \(\displaystyle{ a = x+ \frac{2}{3}}\) i działać algorytmem z wikipedii.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x ^{3} +2x ^{2} -11x+12 \le 0\\
x^3+2x ^{2} -11x+12=0\\
x=y-\frac{2}{3}\\
\left( y-\frac{2}{3}\right)^3+2\left( y-\frac{2}{3}\right) ^2-11\left( y-\frac{2}{3}\right)+12=0\\
y^3-2y^2+ \frac{4}{3}y- \frac{8}{27}+2\left( y^2-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}\right)-11y+\frac{22}{3}+12=0\\
y^3-2y^2+ \frac{4}{3}y- \frac{8}{27}+2y^2-\frac{8}{3}y+\frac{8}{9}-11y+\frac{22}{3}+12=0\\
y^3-\frac{37}{3}y+\frac{16+198+324}{27}=0\\
y^3-\frac{37}{3}y+\frac{538}{27}=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3- \frac{37}{3}\left( u+v\right)+\frac{538}{27}=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-\frac{37}{3}\left( u+v\right)+\frac{538}{27}=0\\
u^3+v^3+\frac{538}{27}+3uv\left( u+v\right)-\frac{37}{3}\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3+\frac{538}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+\frac{538}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0\end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3+\frac{538}{27}=0 \\ \left( uv-\frac{37}{9}\right)=0\end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{538}{27} \\ uv=\frac{37}{9}\end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{538}{27} \\ u^3v^3=\frac{50653}{729}\end{cases} \\
t^2+\frac{538}{27}t+\frac{50653}{729}=0\\
\left( t+ \frac{269}{27} \right)^2- \frac{21708}{729}=0\\
\left( t+\frac{269- \sqrt{21708} }{27}\right)\left( t+ \frac{269+ \sqrt{21708} }{27} \right)=0\\
y= -\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{269-\sqrt{21708}}+ \sqrt[3]{269+ \sqrt{21708} } \right) \\
x=-\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{269-\sqrt{21708}}+ \sqrt[3]{269+ \sqrt{21708} } +2\right)}\)