Reszta z dzielenia bez wykonania dzielenia

[asign123]

Witam mam obliczyć resztę z dzielenia wielomianu w(x) przez u(x)

\(\displaystyle{ w(x) = W(x)=x^{5}-x^{3} + x^{2} - 1 ,
u(x) = (x-1)(x+1)(x+2)}\)

Mój sposób rozumowania :
Rozkładam \(\displaystyle{ w(x)}\) i mam \(\displaystyle{ w(x) = x^{3} + 1 (x - 1)(x + 1)}\)

Teraz \(\displaystyle{ w(x) : u(x) =}\) \(\displaystyle{ \frac{ (x^{3} + 1 )(x - 1)(x + 1) }{ (x-1)(x+1)(x+2)}}\)

I mam ładnie że \(\displaystyle{ w(x) : u(x) = \frac{x^{3} + 1 }{x+2)}}\)

A więc nasza reszta \(\displaystyle{ r = w(-2)}\)

Tyle że po podstawieniu wychodzi mi \(\displaystyle{ r = - 7}\)
a odpowiedź brzmi : \(\displaystyle{ r}\) a właściwie \(\displaystyle{ r(x) = -7x ^{2} + 7}\)


Proszę o pomoc

[Kacperdev]

Jakim cudem w taki sposób rozłożyłeś wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) ?

[asign123]

Pogrupowałem wyrazy : \(\displaystyle{ w(x) = x ^{3} (x^{2} - 1 ) +1(x^{2} - 1 )}\)

Z powyższego działania mam : \(\displaystyle{ w(x) = (x ^{3}+1)(x-1)(x+1)}\)

[Kacperdev]

W pierwszym poscie nawiasów tam nie ma.
To nieważne bo po takiej redukcji otrzeymujesz inne wielomiany niż wyjsciowe. OD razu skorzystaj z tw. Bezouta.

[asign123]

Już poprawiłem

No właśnie skorzystałem z twierdzenia Bezoutta o reszcie i podstawiłem to \(\displaystyle{ -2}\), ale skoro tak mówisz to pewnie nie o to twierdzenie chodziło ;/

Nie mam pojęcia jak to zrobić, wydaję mi się że to twierdzenie byłoby pomocne :

"Jeśli \(\displaystyle{ q}\) jest wielomianem drugiego stopnia to wielomian \(\displaystyle{ w}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ w(x) = p(x)q(x) + ax + b}\) gdzie \(\displaystyle{ ax + b j}\) jest resztą dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ q}\)"

Tylko nie wiem jak to zastosować i odpowiednio podstawić w tej sytuacji, proszę o dalsza pomoc .

[Qń]

Teraz \(\displaystyle{ w(x) : u(x) =}\) \(\displaystyle{ \frac{ (x^{3} + 1 )(x - 1)(x + 1) }{ (x-1)(x+1)(x+2)}}\)
I mam ładnie że \(\displaystyle{ w(x) : u(x) = \frac{x^{3} + 1 }{x+2)}}\)
A więc nasza reszta \(\displaystyle{ r = w(-2)}\)

Twoje rozumowanie to coś w stylu:
Skoro \(\displaystyle{ \frac{12}{8}=\frac 43}\) i reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 4}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) to jeden, to w takim razie reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 12}\) przez \(\displaystyle{ 8}\) to \(\displaystyle{ 1}\).
Tak oczywiście nie można.

Q.

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ W\left( x\right)=I\left( x\right)U\left( x\right)+R\left( x\right)}\)

czyli z tego i z tw. które przytoczyłeś:

\(\displaystyle{ x^{5}-x^{3} + x^{2} - 1= I\left( x\right)(x-1)(x+1)(x+2) + ax^{2}+bx+c}\)

Jak kolejno podstawisz za iks \(\displaystyle{ 1,-1,-2}\) otrzymasz układ 3 równań z 3 niewiadomymi. W ten sposób znajdziesz współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\)

[asign123]

Co znaczy to I na początku lewej strony równania ?
Dlaczego akurat te liczby ?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ I(x)}\) to iloraz dzielenia wielomianiu \(\displaystyle{ w(x)}\) przez \(\displaystyle{ u(x)}\) zobacz, że jak wstawimy konkretnie te liczby to po prawej stronie pierwszy składnik nam sie wyzeruje. (w końcu iloraz nas nie interesuje a tu byłby problematyczny)

[asign123]

A no fakt ! rozwiązanie równania wielomianowego , a nam chodzi resztę .
Wielkie dzięki . Jeszcze jedno pytanie :

jak wstawimy konkretnie te liczby to po prawej stronie pierwszy składnik nam sie wyzeruje.

Czyli dostaniemy :\(\displaystyle{ x^{5}-x^{3} + x^{2} - 1 = ax^{2}+bx+c}\)

I po kolei podstawić te trzy liczby ?

[Kacperdev]

Nie... w miejsce KAŻDEGO iksa wstawiamy te wartości. czyli np. dla \(\displaystyle{ x=1}\) będzie:

\(\displaystyle{ 0=a+b+c}\)

[asign123]

Po kolei nie chodziło mi że w jednym równaniu, tylko zrobić po kolei TRZY układy równań kolejno dla x = 1, -2 i -1

Wielkie dzięki .