hej! mam problem z wyznaczeniem przedzialu monotonicznosci, pierwszy raz z takim przykladem sie spotkalem( nie z funkcja kwadratowa), pomoze ktos?
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2} (5-x)^{2}}\)
pozdr.
Ktoś pytał czy miałem pochodne - niestety nie.
przedział monotoniczności
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 11 wrz 2014, o 23:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 2 razy
przedział monotoniczności
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2014, o 20:50 przez bakala12, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
przedział monotoniczności
Chodzi zapewne o funkcję
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2(5-x)^2}\)
Twoim zadaniem jest określenie przedziałów monotoniczności tej funkcji, czyli o określenie, gdzie jest ona rosnąca, a gdzie malejąca.
Mówisz, że nie znasz pochodnych, więc analizy funkcji. Spróbuj więc określić to na oko, posługując się znajomością funkcji wykładniczej i logarytmicznej...
Chyba, że chodzi o funkcję
\(\displaystyle{ f(x)= x^2(5-x)^2}\)
która jest niezbyt skomplikowanym wielomianem stopnia czwartego o dwóch pierwiastkach podwójnych:
\(\displaystyle{ x=0, x=5}\)
Rysujesz więc wężyk od prawej strony od góry. Krotność pierwiastków jest parzysta, więc wykres odbija się od osi \(\displaystyle{ OX}\) w punktach \(\displaystyle{ x=0, x=5}\). a więc gdzieś pomiędzy tymi pierwiastkami musi być maksimum funkcji. Skoro już naszkicujesz wężyk, z łatwością określisz, gdzie rośnie, a gdzie opada, a więc znajdziesz przedziały monotoniczności.
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2(5-x)^2}\)
Twoim zadaniem jest określenie przedziałów monotoniczności tej funkcji, czyli o określenie, gdzie jest ona rosnąca, a gdzie malejąca.
Mówisz, że nie znasz pochodnych, więc analizy funkcji. Spróbuj więc określić to na oko, posługując się znajomością funkcji wykładniczej i logarytmicznej...
Chyba, że chodzi o funkcję
\(\displaystyle{ f(x)= x^2(5-x)^2}\)
która jest niezbyt skomplikowanym wielomianem stopnia czwartego o dwóch pierwiastkach podwójnych:
\(\displaystyle{ x=0, x=5}\)
Rysujesz więc wężyk od prawej strony od góry. Krotność pierwiastków jest parzysta, więc wykres odbija się od osi \(\displaystyle{ OX}\) w punktach \(\displaystyle{ x=0, x=5}\). a więc gdzieś pomiędzy tymi pierwiastkami musi być maksimum funkcji. Skoro już naszkicujesz wężyk, z łatwością określisz, gdzie rośnie, a gdzie opada, a więc znajdziesz przedziały monotoniczności.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
przedział monotoniczności
Bez pochodnych się da, oczywiście.
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ f(x)=\left( x\left( 5-x\right) \right)^{2}}\)
Mamy więc tak naprawdę funkcję kwadratową podniesioną do kwadratu.
Jak sobie z tym poradzić. To jest złożenie dwóch funkcji: \(\displaystyle{ g(x)=x\left( 5-x\right)}\) i \(\displaystyle{ h(x)=x^{2}}\) i \(\displaystyle{ f=h \circ g}\)
Zacznijmy od intuicji. Umiemy narysować funkcję \(\displaystyle{ g}\). Teraz "podnieśmy ją do kwadratu". Co się dzieje. Oczywiście to co było na początku ujemne, wyskakuje ponad oś i trochę się rozciąga "w górę", pozostała część patrząc od strony monotoniczności zachowuje się tak samo jak wcześniej, tylko również jest troszkę bardziej rozciągnięta "do góry". Warto może nadmienić, że tam gdzie początkowa wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) była w przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\) to wykres powinien troszkę się spłaszczyć. Ale to jest niuans, który nie wpływa na monotoniczność. Ogólnie przedziały monotoniczności dość łatwo odczytać ze sporządzonego w ten sposób rysunku. Co do bardziej formalnego wyznaczenia tych przedziałów bez użycia pochodnych, proponuję odczytać je z rysunku i po kolei z definicji udowadniać monotoniczność w każdym z nich. Może jest prostszy sposób, ale na ten moment go nie widzę. Gdybyś tego potrzebował, napisz a pokażę jak to powinno wyglądać.
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ f(x)=\left( x\left( 5-x\right) \right)^{2}}\)
Mamy więc tak naprawdę funkcję kwadratową podniesioną do kwadratu.
Jak sobie z tym poradzić. To jest złożenie dwóch funkcji: \(\displaystyle{ g(x)=x\left( 5-x\right)}\) i \(\displaystyle{ h(x)=x^{2}}\) i \(\displaystyle{ f=h \circ g}\)
Zacznijmy od intuicji. Umiemy narysować funkcję \(\displaystyle{ g}\). Teraz "podnieśmy ją do kwadratu". Co się dzieje. Oczywiście to co było na początku ujemne, wyskakuje ponad oś i trochę się rozciąga "w górę", pozostała część patrząc od strony monotoniczności zachowuje się tak samo jak wcześniej, tylko również jest troszkę bardziej rozciągnięta "do góry". Warto może nadmienić, że tam gdzie początkowa wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) była w przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\) to wykres powinien troszkę się spłaszczyć. Ale to jest niuans, który nie wpływa na monotoniczność. Ogólnie przedziały monotoniczności dość łatwo odczytać ze sporządzonego w ten sposób rysunku. Co do bardziej formalnego wyznaczenia tych przedziałów bez użycia pochodnych, proponuję odczytać je z rysunku i po kolei z definicji udowadniać monotoniczność w każdym z nich. Może jest prostszy sposób, ale na ten moment go nie widzę. Gdybyś tego potrzebował, napisz a pokażę jak to powinno wyglądać.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
przedział monotoniczności
piasek101, jeśli to pytanie do mnie to będzie ono przyjęte dla argumentu w którym jest wierzchołek paraboli \(\displaystyle{ x\left( 5-x\right)}\), czyli u nas \(\displaystyle{ 2,5}\).
Jeśli to nie było pytanie do mnie to przepraszam, że popsułem zabawę
Jeśli to nie było pytanie do mnie to przepraszam, że popsułem zabawę