przedział monotoniczności

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
fl0rr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 11 wrz 2014, o 23:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 2 razy

przedział monotoniczności

Post autor: fl0rr »

hej! mam problem z wyznaczeniem przedzialu monotonicznosci, pierwszy raz z takim przykladem sie spotkalem( nie z funkcja kwadratowa), pomoze ktos?

\(\displaystyle{ f(x)= x^{2} (5-x)^{2}}\)
pozdr.

Ktoś pytał czy miałem pochodne - niestety nie.
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2014, o 20:50 przez bakala12, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].Temat umieszczony w złym dziale.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

przedział monotoniczności

Post autor: Dilectus »

Chodzi zapewne o funkcję

\(\displaystyle{ f(x)= x^{2(5-x)^2}\)

Twoim zadaniem jest określenie przedziałów monotoniczności tej funkcji, czyli o określenie, gdzie jest ona rosnąca, a gdzie malejąca.
Mówisz, że nie znasz pochodnych, więc analizy funkcji. Spróbuj więc określić to na oko, posługując się znajomością funkcji wykładniczej i logarytmicznej...

Chyba, że chodzi o funkcję

\(\displaystyle{ f(x)= x^2(5-x)^2}\)

która jest niezbyt skomplikowanym wielomianem stopnia czwartego o dwóch pierwiastkach podwójnych:

\(\displaystyle{ x=0, x=5}\)

Rysujesz więc wężyk od prawej strony od góry. Krotność pierwiastków jest parzysta, więc wykres odbija się od osi \(\displaystyle{ OX}\) w punktach \(\displaystyle{ x=0, x=5}\). a więc gdzieś pomiędzy tymi pierwiastkami musi być maksimum funkcji. Skoro już naszkicujesz wężyk, z łatwością określisz, gdzie rośnie, a gdzie opada, a więc znajdziesz przedziały monotoniczności.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

przedział monotoniczności

Post autor: bakala12 »

Bez pochodnych się da, oczywiście.
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ f(x)=\left( x\left( 5-x\right) \right)^{2}}\)
Mamy więc tak naprawdę funkcję kwadratową podniesioną do kwadratu.
Jak sobie z tym poradzić. To jest złożenie dwóch funkcji: \(\displaystyle{ g(x)=x\left( 5-x\right)}\) i \(\displaystyle{ h(x)=x^{2}}\) i \(\displaystyle{ f=h \circ g}\)
Zacznijmy od intuicji. Umiemy narysować funkcję \(\displaystyle{ g}\). Teraz "podnieśmy ją do kwadratu". Co się dzieje. Oczywiście to co było na początku ujemne, wyskakuje ponad oś i trochę się rozciąga "w górę", pozostała część patrząc od strony monotoniczności zachowuje się tak samo jak wcześniej, tylko również jest troszkę bardziej rozciągnięta "do góry". Warto może nadmienić, że tam gdzie początkowa wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) była w przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\) to wykres powinien troszkę się spłaszczyć. Ale to jest niuans, który nie wpływa na monotoniczność. Ogólnie przedziały monotoniczności dość łatwo odczytać ze sporządzonego w ten sposób rysunku. Co do bardziej formalnego wyznaczenia tych przedziałów bez użycia pochodnych, proponuję odczytać je z rysunku i po kolei z definicji udowadniać monotoniczność w każdym z nich. Może jest prostszy sposób, ale na ten moment go nie widzę. Gdybyś tego potrzebował, napisz a pokażę jak to powinno wyglądać.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

przedział monotoniczności

Post autor: piasek101 »

To max lokalne między pierwiastkami - z czego wyznaczyć ?
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

przedział monotoniczności

Post autor: bakala12 »

piasek101, jeśli to pytanie do mnie to będzie ono przyjęte dla argumentu w którym jest wierzchołek paraboli \(\displaystyle{ x\left( 5-x\right)}\), czyli u nas \(\displaystyle{ 2,5}\).
Jeśli to nie było pytanie do mnie to przepraszam, że popsułem zabawę
ODPOWIEDZ