Rozłożenie wielomianu

[asign123]

Witam proszę o pomoc w rozłożeniu tego wielomianu z wyjaśnieniem

\(\displaystyle{ w(x) = x ^{3} + 2x ^{2} - 11x + 6

Pozdrawiam}\)

[bakala12]

2 jest pierwiastkiem. Dalej dzielimy, pisemnie lub schematem Hornera.

[asign123]

Nie ogarniam, możesz rozwinąć ?

-- 11 wrz 2014, o 19:21 --

Albo może inaczej zapytam , dlaczego dzielimy ? Dzielimy ten wielomian przez co ? Co z tego że jeden z pierwiastków 2 ?

[jarek4700]

Oznacza to że wielomian podzieli się przez \(\displaystyle{ (x-2)}\)

Oprócz pisemnego i Hornera można też tak:
\(\displaystyle{ w(x) = (x-2)(ax^{2}+bx+c) = ax^{3}+(b-2a)x^{2}+(c-2b)x-2c}\)
Porównując współczynniki łatwo znajdziesz \(\displaystyle{ a,b,c}\)

[musialmi]

Z czego metoda Jarka jest najprzyjemniejsza dla początkujących, bo wystarczy tylko znajomość kiedy wielomiany są sobie równe. A wiesz kiedy?

[Dilectus]

Nie ogarniam, możesz rozwinąć ?

Twierdzenie Bézouta mówi, że jeśli liczba \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), to ten wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\)

W Twoim przypadku \(\displaystyle{ W(x)}\) jest wielomianem trzeciego stopnia, a jeśli tak, to ma z pewnością co najmniej jeden pierwiastek. Można go spróbować zgadnąć. Łatwo zgadnąć, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, co zauważył już mój Przedmówca.

Jeśli tak, to z pewnością \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\)

No to podzielmy. Dostaniemy

\(\displaystyle{ x ^{3} + 2x ^{2} - 11x + 6= (x^2+4x-3)(x-2)}\)

Teraz rozłóż ten trójmian i masz rozłożony cały wielomian.

P.S. Zacznij się posługiwać twierdzeniem Bézouta...

[bakala12]

Może jeszcze słowo na temat, jak zgadywać pierwiastki, bo może się wydawać, że to \(\displaystyle{ 2}\) wyciągnąłem zupełnie z kapelusza. Jednak tak nie jest. Pierwiastków najpierw szukamy w zbiorze liczb wymiernych, korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych. Tak się składa, że nasz wielomian ma współczynniki będące liczbami całkowitymi więc na mocy tego twierdzenia, jeżeli ma on pierwiastek wymierny (a nie musi mieć) to jest on postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ q \neq 0}\), a ponadto twierdzenie mówi nam że licznik (\(\displaystyle{ p}\)) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, natomiast mianownik (\(\displaystyle{ q}\)) jest dzielnikiem współczynnika stojącego przy najwyższej potędze w naszym wielomianie. I tak patrząc na nasz wielomian widzimy, że \(\displaystyle{ p \in \left\{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\right\}}\), natomiast \(\displaystyle{ q = \pm 1}\). Stąd mamy następujący zbiór kandydatów na pierwiastki naszego wielomianu:
\(\displaystyle{ \left\{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\right\}}\) i bezpośrednio obliczamy wartości wielomianu dla tych liczb. Szczęśliwie \(\displaystyle{ w(2)=0}\) i korzystamy z twierdzenia Bezouta, jak już wspomniał mój przedmówca.
Uwaga: Czasem zdarza się, że wśród kandydatów na pierwiastki wymierne nie ma żadnego pierwiastka naszego wielomianu. Wówczas istnieją metody rozwiązywania takiego równania, ale są one bardziej zaawansowane algebraicznie, np. wzoru Cardano. Jednakże na poziomie matury raczej takich wielomianów nie spotkasz.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ w(x) = x ^{3} + 2x ^{2} - 11x + 6}\)

\(\displaystyle{ x ^{3} + 2x ^{2} - 11x + 6=0\\
x=y-\frac{2}{3}\\
\left( y-\frac{2}{3}\right)^3+2\left( y-\frac{2}{3}\right)^2-11\left( y- \frac{2}{3} \right)+6=0\\
y^3-2y^2+\frac{4}{3}y-\frac{8}{27}+2\left( y^2-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}\right)-11y+\frac{22}{3}+6=0\\
y^3-2y^2+\frac{4}{3}y-\frac{8}{27}+2y^2-\frac{8}{3}y+\frac{8}{9}-11y+\frac{22}{3}+6=0\\
y^3-\frac{37}{3}y+\frac{232}{27}=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3-\frac{37}{3}\left( u+v\right)+\frac{232}{27}=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3 -\frac{37}{3}\left( u+v\right)+\frac{232}{27}=0\\
u^3+v^3+\frac{232}{27}+3\left( u+v\right)uv-\frac{37}{3}\left( u+v\right)=0 \\
u^3+v^3+\frac{232}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+\frac{232}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{37}{9}\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{232}{27} \\ uv-\frac{37}{9}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{232}{27} \\uv=\frac{37}{9} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{232}{27} \\ u^3v^3=\frac{50653}{729} \end{cases} \\
t^2+\frac{232}{27}t+\frac{50653}{729}=0\\
53824-202612<0}\)

Jeśli znasz zespolone to rozwiązujesz dalej
a jeśli nie to zauważ że lewa strona równania \(\displaystyle{ y^3-\frac{37}{3}y=-\frac{232}{27}}\)
przypomina wzór na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) kąta potrojonego
Rozwiązując z użyciem liczb zespolonych też byś dostał funkcje trygonometryczne

[asign123]

Faktycznie twierdzenie Bezoutta pomocne, ale ta 2 .. Naprawde nie ma metody znalezienia pierwiastku wielomianu stopnia 3 na poziomie 2 liceum tylko "próby i błędy ? "


Mariuszm, przestałem rozumieć przy \(\displaystyle{ x = y - \frac{2}{3}}\)

[Zahion]

Faktycznie twierdzenie Bezoutta pomocne, ale ta 2 .. Naprawde nie ma metody znalezienia pierwiastku wielomianu stopnia 3 na poziomie 2 liceum tylko "próby i błędy ? "

To nie są próby i błędy. Dzięki temu twierdzenie znajdziesz każdy pierwiastek wymierny dowolnego wielomianu , natomist mariuszm pokazał Ci uniwersalny sposób, dzięki któremu znajdziesz dowolny pierwiastek równania 3stopnia nawet niewymierny. Niestety ta metoda działa dla wielomianów co najwyżej stopnia \(\displaystyle{ 4}\) i jak widzisz jest dość ciężka i nie jest ona Ci potrzebna w liceum, gdyż jakikolwiek wielomian nie otrzymasz, będzie miał on pierwiastki wymierne, a co za tym idzie, będziesz mógł/a go rozwiązać za pomocą twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

[asign123]

A czy ta metoda mariusza mogłaby się pojawić na maturze rozszerzonej ?

[Zahion]

Zadanie możesz rozwiązać tą metodą, natomiast nie będzie to koniecznie. Tak jak napisałem - jakikolwiek wielomian nie otrzymasz, to będzie on posiadał pierwiastki wymierne, więc wystarczy Ci twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

[Ponewor]

A czy ta metoda mariusza mogłaby się pojawić na maturze rozszerzonej ?

Nie.

[Dilectus]

Naprawde nie ma metody znalezienia pierwiastku wielomianu stopnia 3 na poziomie 2 liceum tylko "próby i błędy ? "

Szukaj pierwiaska wśród podzielników wyrazu wolnego. W Twoim wielomianie nie jest ich wiele.

[Mariusz M]

asign123, znasz coś takiego jak dwumian Newtona ?
Podstawienie pozwala wyeliminować wyraz z \(\displaystyle{ x^2}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ y=u+v}\)
Tutaj może istnieć jakieś geometryczne uzasadnienie tego podstawienia

Po podstawieniu otrzymujesz równanie które łatwo
przekształcić we wzory Viete'a dla trójmianu o pierwiastkach \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)

Gdybyś znał zespolone to by ci było łatwiej te pierwiastki policzyć
Jeśli otrzymane równanie ma pierwiastki rzeczywiste to liczenie nie wymaga ani trygonometrii
ani liczb zespolonych
Jeśli trójmian nie posiada pierwiastków rzeczywistych to jeśli znasz liczby zespolone
korzystasz z nich (wzór de Moivre, pierwiastki z jedynki)
Jeśli nie znasz zespolonych to możesz w tym przypadku skorzystać z trygonometrii

Sposób tylko pozornie jest trudny jednak jak już Zahion, napisał działa tylko dla wielomianów
trzeciego i czwartego stopnia
Jeśli chciałbyś rozwiązać równanie czwartego stopnia tą metodą to
podstaw \(\displaystyle{ y=u+v+w}\)
(Równanie trzeciego stopnia do którego będziesz starał się sprowadzić równanie ma trzy pierwiastki
niekoniecznie rzeczywiste)

asign123, miałeś trygonometrię ?
O funkcjach co miałeś ?
Miałeś złożenie funkcji oraz funkcję odwrotną ?
Jeśli piszesz o maturze to o zespolonych musiałbyś sam poczytać

Znasz coś takiego jak uzupełnianie do kwadratu ?
Tutaj po wyeliminowaniu wyrazu z \(\displaystyle{ x^2}\)
możesz skorzystać z tego samego pomysłu tyle że tym razem uzupełniasz do sześcianu

Jeśli przejrzysz tematy użytkownika https://www.matematyka.pl/profiles/6817.htm
to w jednym z nich jest sposób który mógłby cię zainteresować
Nazwał go metodą Kaca

Faktycznie twierdzenie Bezoutta pomocne, ale ta 2 .. Naprawde nie ma metody znalezienia pierwiastku wielomianu stopnia 3 na poziomie 2 liceum tylko "próby i błędy ? "

To nie są próby i błędy. Dzięki temu twierdzenie znajdziesz każdy pierwiastek wymierny dowolnego wielomianu , natomist mariuszm pokazał Ci uniwersalny sposób, dzięki któremu znajdziesz dowolny pierwiastek równania 3stopnia nawet niewymierny. Niestety ta metoda działa dla wielomianów co najwyżej stopnia \(\displaystyle{ 4}\) i jak widzisz jest dość ciężka i nie jest ona Ci potrzebna w liceum, gdyż jakikolwiek wielomian nie otrzymasz, będzie miał on pierwiastki wymierne, a co za tym idzie, będziesz mógł/a go rozwiązać za pomocą twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

Nie przesadzaj Vax jeszcze w gimnazjum takie równanka rozwiązywał