równanie wielomianowe z parametrem

[mateusz200414]

cześć

mam dwa przykłady z którymi nie mogę sobie poradzić, pomożecie?

zd.1
Zbadaj w jaki sposób liczba rozwiązań podanego równania zależy od parametru m.
\(\displaystyle{ x^3-m^3+2m^2+4m-8=(2-m)x^2+(m^2-4)x}\)

zd.2
wyznacz pierwiastki równania w zależności od parametru m.
\(\displaystyle{ x^3-mx^2+(m^2-9)x-m^3+9m=0}\)

potrafię to uporządkować, ale nie wiem co z tym zrobić dalej, czy ktoś mógłby to dla mnie rozwiązać, proszę?

[Lady Tilly]

Wzory

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node127.html

lub pochodne mogą wejść w grę.

[setch]

zad.2
\(\displaystyle{ x^3-mx^2+(m^2-9)x-m^3+9m=x^2(x-m)+(m^2-9)x-m(m^2-9)=x^2(x-m)+(x-m)(m^2-9)=(x^2+m^2-9)(x-m)}\)

[mateusz200414]

setch, uporządkować potrafię (znaczy rozłożyć na czynniki), ale nie wiem co z tym dalej... jak z tego wywnioskować liczbę rozwiązań?

Lady, ani jednego ani drugiego nie miałem jeszcze w szkole...

[przemk20]

Masz rownanie kwadratowe,
\(\displaystyle{ x^2 + m^2-9}\)
ktore ma;
2 rozwiazania \(\displaystyle{ \iff \ \Delta > 0}\)
1 rozwiazanie \(\displaystyle{ \iff \ \Delta = 0}\)
brak rozwiazan \(\displaystyle{ \iff \ \Delta < 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = b^2-4ac}\)

[mateusz200414]

no to luz, wiem rozwiązuję równanie z paramterem otrzymuję przedziały itd., ale co zrobić z drugim członem? x=m... mi to nie wiele mówi....

poza tym w odpowiedziach są wartości dla których przyjmuje 3 rozwiązania...

[max]

Dla drugiego członu też należy 'znaleźć' rozwiązania (x = m) i następnie sprawdzić ile jest w sumie różnych rozwiązań, bo może się okazać, że liczba m jest również rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ x^{2} + m^{2} - 9 = 0}\)
Dlatego możnaby najpierw wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ m}\), dla których m jest rozwiązaniem obu równań, czyli:
\(\displaystyle{ m^{2} + m^{2} - 9 = 0}\)
stąd:
\(\displaystyle{ m = \frac{3\sqrt{2}}{2} \ \vee \ m = -\frac{3\sqrt{2}}{2}}\)
czyli dla tych m będą w sumie dwa rozwiązania, a dla pozostałych rozwiązania obu równań są różne i dalej możemy zająć się drugim równaniem do otrzymanej liczby rozwiązań dodając jeden.

[sztuczne zęby]

Ja mam takie pytanie dotyczące tego typu zadań. Jeżeli mam napisane, że uzależnić liczbę m od "różnych rozwiązań" to sprawa jest jasna. Podwójne rozwiązanie traktuje jako jedno. A co w przypadku, gdy w treści zadania jest tylko uzależnić liczbę rozwiązań od parametru. Jak wtedy traktuje podwójne, potrójne rozwiązania?

[max]

Jako jedno raczej... jeśli wielomian ma jeden pierwiastek i jest on n-krotny, to raczej nie powiesz, że ten wielomian ma n pierwiastków... tak samo jeśli mówimy o liczbie rozwiązań równania to zakładamy, że chodzi nam o liczbę różnych rozwiązań - w innym wypadku rówanie:
\(\displaystyle{ x = m}\) mogłoby mieć równie dobrze jedno rozwiązanie jak i 100 rozwiązań...

[mateusz200414]

to ja wiem
w tego typu zadaniach zakładasz, 1 pierwiastek n-krotny, czyli szukasz ten jeden, ale trzeba wskazać krotność...

a co do mojego przykładu; widzę max, że tam mi wszystko ładnie rozpisałeś, ale kurcze ja dalej nie kumam :/ wiesz, w szkole żadnego takiego przykładu nie robiliśmy, więc jestem zupełnie zielony...

[max]

No to jeszcze raz:

Mamy równanie:
\(\displaystyle{ (x^{2} + m^{2} - 9)(x - m) = 0}\)
Jak wiadomo iloczyn dwóch czynników jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zero. Zatem rozwiązaniem równania (przy jakimś ustalonym \(\displaystyle{ m}\)) będzie takie \(\displaystyle{ x}\), dla którego jeden z nawiasów jest równy 0, czyli rozwiązaniem wyjściowego równania będą rozwiązania równań:
\(\displaystyle{ (*) \ \begin{array}{l}x^{2} + m^{2} - 9 = 0\\
x - m = 0\end{array}}\)
Równanie:
\(\displaystyle{ x - m = 0}\)
ma zawsze jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x = m}\)
Równanie:
\(\displaystyle{ x^{2} + m^{2} - 9 = 0}\)
jest równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od delty.
W tym miejscu, zanim przejdziemy do rozpatrywania liczby rozwiązań równania kwadratowego w zależności od \(\displaystyle{ m}\) zwróćmy uwagę na to, że być może istnieje takie \(\displaystyle{ m}\), przy którym jest dla pewnego \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ x^{2} + m^{2} - 9 = 0}\) i \(\displaystyle{ x - m = 0}\)
czyli rozwiązania obu równań mogą się w pewnym sensie 'pokrywać'.
Ponieważ rozwiązaniem drugiego równania jest zawsze \(\displaystyle{ x = m}\), to powyższa sytuacja nastąpi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ m}\) jest również rozwiązaniem równania kwadratowego, czyli, gdy:
\(\displaystyle{ m^{2} + m^{2} - 9 = 0}\)
Równanie to ma wtedy dwa różne rozwiązania:
\(\displaystyle{ \{\tfrac{-3\sqrt{2}}{2},\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\}}\)
przy czym jedno z nich jest rozwiązaniem również drugiego równania, zatem powyższe liczby są jedynymi rozwiązaniami równania wyjściowego, czyli dla:
\(\displaystyle{ m\in \{\tfrac{-3\sqrt{2}}{2},\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\}}\)
równanie wyjściowe ma dokładnie 2 rozwiązania.
Teraz możemy już wrócić do rozpatrywania liczby rozwiązań rówania kwadratowego przy zastrzeżeniu, że dla:
\(\displaystyle{ m\notin \{\tfrac{-3\sqrt{2}}{2},\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\}}\)
miejsca zerowe obu czynników są różne, zatem aby uzyskać liczbę rozwiązań równania wyjściowego należy po prostu dodać liczby rozwiązań obu równań \(\displaystyle{ (*)}\).

Z równaniem kwadratowym już sobie poradzisz .

[mateusz200414]

ogromnie ci dziękuję max!