obliczenie wyrazu wolnego wielomianu

[AndrzejK]

Czy jest możliwe obliczenie wyrazu wolnego wielomianu znając jego pierwiastek? Problem w tym, że tych pierwiastków jest nieskończenie wiele i chciałbym uzależnić postać pierwiastka od wartości wyrazu wolnego.

[yorgin]

Wielomian nie może mieć nieskończenie wielu pierwiastków, ale może źle zrozumiałem intencję wypowiedzi.

Jeżeli znasz wszystkie pierwiastki wielomianu i założysz, że współczynnik wiodący wielomianu wynosi \(\displaystyle{ 1}\) (co możesz zawsze uczynić), to wyraz wolny wynosi \(\displaystyle{ (-1)^n s}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest ilością pierwiastków (wraz z ich krotnościami), a \(\displaystyle{ s}\) iloczynem wszystkich pierwiasków (wraz z ich krotnościami).

Wynika to ze wzorów Viete'a.

Uzależnić pierwiastka od wyrazu wolnego się nie da w ogólności. Są jedynie szczególne przypadki, jak twierdzenia o postaci pierwiastka całkowitego bądź wymiernego.

[AndrzejK]

Problem polega na tym, że mam podany pierwiastek pewnego wielomianu uzależniony od pewnej zmiennej \(\displaystyle{ b}\). I np. dla \(\displaystyle{ b=1}\) znajduję dla tego pierwiastka wielomian i mam wyraz wolny. A co, gdy chcę uogólnić problem dla \(\displaystyle{ b>1}\)? Już po \(\displaystyle{ b=11}\) odechciało mi się szukać wielomianu i zauważyłem pewną zależność. Gdy \(\displaystyle{ b}\) jest parzyste to wyraz wolny wielomianu wynosi \(\displaystyle{ 2}\), a gdy jest nieparzyste to wynosi \(\displaystyle{ 4}\). Problem w tym, że nie wiem jak wykazać, że dzieje się tak dla każdego parzystego i nieparzystego \(\displaystyle{ b}\), bo przecież sprawdzenie na kilkudziesięciu przykładach jeszcze o niczym nie świadczy. Po moich "próbach" doszedłem także do wniosku, że współczynnik przy najwyższej potędze (wiodący?) jest zawsze równy \(\displaystyle{ 1}\).

[yorgin]

No niestety ale z Twojego posta nic nie potrafię wyciągnąć, poza serią pytań:

Jak wygląda ten podany pierwiastek?

Czy szukamy wielomianu szczególnej postaci? Czy może szukamy byle jakiego wielomianu?

Dlaczego uogólniasz tylko na liczby naturalne?


Nie rozumiem też postawionego problemu. Poza związkiem pierwiastków z wyrazem wolnym (o którym pisałem poprzednio) nie widzę w tym sensu. Ale może to wynika z niezrozumienia tematu? Podaj po prostu więcej szczegółów problemu.

[AiDi]

I np. dla \(\displaystyle{ b=1}\) znajduję dla tego pierwiastka wielomian i mam wyraz wolny. A co, gdy chcę uogólnić problem dla \(\displaystyle{ b>1}\)?

Ale jaki wielomian znajdujesz? Bo takich wielomianów z zadanym pierwiastkiem jest nieskończenie wiele Ty szukasz wielomianu konkretnej postaci, zależnego od \(\displaystyle{ b}\), tylko nie wyartykułowałeś tej postaci.

[Rajmil]

Przecież przy "obliczaniu" pierwiastków, równania wielomianowego, mamy stały element wolny, będący częścią wielomianu. Z tego wniosek że wystarczy znajomość jednego pierwiastka aby wyznaczyć "niewiadomy" element wolny. Przy czym, przy liczeniu samych pierwiastków niezbędna jest znajomość tego wyrazu wolnego(czyli zadania typu szkolnego, znasz pierwiastek nie znasz wyrazu wolnego, wylicz). Dodam że wyraz wolny to punkt przecięcia się wykresu równania wielomianowego z osią oy, to znaczy dla x=0.

\(\displaystyle{ W(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} ... +a_1x+ a_0}\)

Oczywiście, pierwiastki równania wielomianowego to punkty przecięcia się wykresu tego równania z osią ox, więc dla y=0, co oznacza że przyrównujemy całe równanie wielomianowe do zera:

\(\displaystyle{ W(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} ... +a_1x+ a_0=0}\)
Wstawiając dowolny pierwiastek równania wielomianowego który oznaczę przez \(\displaystyle{ x_k}\), gdzie k, n należą do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \le n}\), a n to stopień wielomianu, dostajemy:
\(\displaystyle{ W(x_k)=a_nx_k^n + a_{n-1}x_k^{n-1} ... +a_1x_k+ a_0=0}\)
Upraszczając zapis:
\(\displaystyle{ W(x_k)=W_k(x_k)+ a_0=0}\)
Gdzie \(\displaystyle{ W_k(x_k)}\) To określona wartość zależna od wartości pierwiastka, wtedy element wolny to:
\(\displaystyle{ a_0=-W_k(x_k)}\)
Jednak aby obliczyć pierwiastki niezbędna jest znajomość wyrazu wolnego. Poza tym nie znamy ogólnej metody liczenia takich pierwiastków dla równań wyższego stopnia niż 4. To ciekawy temat, związany z teorią Galois.

Dla ciekawostki powiem że wielomiany nieparzyste zawsze mają przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co wynika z tego że krańce takich funkcji są zwrócone do nieskończoności ale w przeciwnych kierunkach. Zakładając ciągłość funkcji, oraz skraje zmierzające do nieskończoności w przeciwnych kierunkach wymusza istnienie przynajmniej jednego pierwiastka rzeczywistego, to znaczy istnieje przynajmniej jeden punkt przecięcia się wykresu równania wielomianowego z osią ox dla y=0. Przykładowe wykresy dla równań wielomianowych o stopniu nieparzystym:
Równanie trzeciego stopnia i trzy pierwiastki rzeczywiste:
[ciach]
Równanie piątego stopnia i pięć pierwiastków rzeczywistych:
... unkcji.gif
Widzimy że krańce zmierzają do nieskończoności w przeciwnych kierunkach, przypadek z jednym pierwiastkiem rzeczywistym:


Dodam jeszcze że każde równanie wielomianowe n stopnia ma n pierwiastków, mogą być rzeczywiste, albo urojone.

Nie wiem czy o to Ci chodziło, ale w podanym temacie tylko takie rozumienie Twojego pytania ma jakiś sens.