Miejsce zerowe

[BoJaNicNieUmiem]

Miejsce zerowe funkcji dowolną metodą..jaką najlepiej? Jak to wg ugryźć? Może dla kogoś to pestka i pomoże?

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = 3x^{3}+5 \cdot x^{2}-1}\)

[a4karo]

wzory Cardano? , metody numeryczne (są pierwiastki w \(\displaystyle{ (0,1), \ (-1,0), (-2,-1)}\))?

[PiotrowskiW]

Polecam wzory Viete'a
Na wikipedii jest nawet gotowy wzór dla wielomianu trzeciego stopnia.

[a4karo]

Wzory Viete'a nie dają pierwiastków, a jedynie zależności między nimi

[Dilectus]

Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci \(\displaystyle{ ax^3 + bx^2 + cx + d,\; a\neq 0}\), o pierwiastkach \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) wzory te mają postać:

\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}}\).

Miłego liczenia...

[a4karo]

Panowie, czemu mącicie dziewczynie w głowie. dyskusje o wzorach Viete'a nic nie wnoszą do tematu.

[Mariusz M]

Wzory Viete'a nie dają pierwiastków, a jedynie zależności między nimi

Z tym się zgodzę

Panowie, czemu mącicie dziewczynie w głowie. dyskusje o wzorach Viete'a nic nie wnoszą do tematu.

Jeśli są to wzory Viete dla wielomianu trzeciego stopnia to tak
ale jeśli dla wielomianu drugiego stopnia to już niekoniecznie

Jedna z metod właśnie prowadzi do wzorów Viete tyle że dla trójmianu kwadratowego

Skoro są trzy pierwiastki rzeczywiste to proponuję trygonometrię

Metoda algebraiczna da zespolone pierwiastki
gdzie rozdzielenie części rzeczywistej od urojonej będzie wymagało skorzystania ze wzoru
de Moivre i ostatecznie także skończy się na trygonometrii

Pierwiastek będzie postaci

\(\displaystyle{ x=u\cos{\left( \theta\right) }-\frac{5}{9}}\)

przy czym \(\displaystyle{ u}\) należy tak dobrać aby lewa strona przypominała wzór
na cosinusa potrojonego argumentu

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = 3x^{3}+5 \cdot x^{2}-1\\
x=u\cos{\left( \theta\right) }-\frac{5}{9}\\
3\left(u\cos{\left( \theta\right) }-\frac{5}{9} \right)^3+5\left( u\cos{\left( \theta\right) }-\frac{5}{9}\right) ^2-1=0\\
3\left( u^3\cos^{3}{\left( \theta\right) }-\frac{5}{3}u^2\cos^{2}{\left( \theta\right) }+\frac{25}{27}u\cos{\left( \theta\right) }-\frac{125}{729}\right)+\\5\left( u^2\cos^{2}{\left( \theta\right) }-\frac{10}{9}u\cos{\left( \theta\right) }+\frac{25}{81}\right) -1=0\\
3u^3\cos^{3}{\left( \theta\right) }-5u^2\cos^{2}{\left( \theta\right) }+\frac{25}{9}u\cos{\left( \theta\right) }-\frac{125}{243}+5u^2\cos^{2}{\left( \theta\right) }-\frac{50}{9}u\cos{\left( \theta\right) }+\frac{125}{81}-1\\
3u^3\cos^{3}{\left( \theta\right) }-\frac{25}{9}u\cos{\left( \theta\right) }=-\frac{7}{243}\\}\)

\(\displaystyle{ \cos{2 \alpha }=\cos{\left( \alpha + \alpha \right) }=\cos{ \alpha }\cos{ \alpha }-\sin{ \alpha }\sin{ \alpha }=\cos^{2}{ \alpha }-\sin^{2}{ \alpha }\\
\sin{2 \alpha }=\sin{\left( \alpha+\alpha\right) }=\sin{ \alpha }\cos{ \alpha }+\cos{ \alpha }\sin{ \alpha }=2\cos{ \alpha }\sin{ \alpha }\\
\cos{3 \alpha }=\cos{\left( \alpha +2 \alpha \right) }=\cos{ \alpha }\cos{2 \alpha }-\sin{\alpha}\sin{2 \alpha }\\
=\cos{ \alpha }\left(\cos^{2}{ \alpha }-\sin^{2}{ \alpha } \right)-\sin{ \alpha }2\cos{ \alpha }\sin{ \alpha }\\
=\cos^{3}{ \alpha }-\cos{ \alpha }\sin^{2}{ \alpha }-2\cos{ \alpha }\siin^{2}{ \alpha }\\
=\cos^{3}{ \alpha }-3\cos{ \alpha }\sin^{2}{ \alpha }\\
=\cos^{3}{ \alpha }-3\cos{ \alpha }\left( 1-\cos^{2}{ \alpha }\right) \\
=\cos^{3}{ \alpha }-3\cos{ \alpha }+3\cos^{3}{ \alpha }\\
=4\cos^{3}{ \alpha }-3\cos{ \alpha }\\}\)

Jak ktoś się bawił wielomianami Czebyszewa to powninien to pamiętać


\(\displaystyle{ -\frac{25}{9}u \cdot \frac{1}{3u^3}=-\frac{3}{4}\\
\frac{25}{27u^2}= \frac{3}{4}\\
100=81u^2\\
81u^2-100=0\\
\left( 9u-10\right)\left( 9u+10\right)=0\\
u=\frac{10}{9}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1000}{243}\cos^{3}{\left( \theta\right) }-\frac{250}{81}\cos{\left( \theta\right) }=-\frac{7}{243}\\
4\cos^{3}{\left( \theta\right) }-3\cos{\left( \theta\right) }=-\frac{7}{250} \\
\cos{\left( 3\theta\right) }=-\frac{7}{250}\\
3\theta_{1}=\arccos{\left(-\frac{7}{250} \right) }\\
3\theta_{2}=\arccos{\left(-\frac{7}{250} \right) }+2\pi\\
3\theta_{3}=\arccos{\left(-\frac{7}{250} \right) }+4\pi\\
x_{1}=\frac{10}{9}\cos{\left( \frac{\arccos{\left(-\frac{7}{250} \right) }}{3} \right) }-\frac{5}{9}\\
x_{2}=\frac{10}{9}\cos{\left( \frac{\arccos{\left(-\frac{7}{250} \right) }+2\pi}{3} \right) }-\frac{5}{9}\\
x_{3}=\frac{10}{9}\cos{\left( \frac{\arccos{\left(-\frac{7}{250} \right) }+4\pi}{3} \right) }-\frac{5}{9}}\)