miejsca zerowe wielomian

[bobek2010]

\(\displaystyle{ a(-a^3x^4+2a^3x^3-(a^2+a^3)x^2+a^2x)(1+a^3x^4-2a^3x^3+(a^2+a^3)x^2-a^2x)-x=0}\)


Wyznacz pierwiastki wielomianu

[Dilectus]

Hmm... Łatwo widać, że jednym z pierwiastków tego wielomianu jest \(\displaystyle{ x=0}\)

Napiszmy teraz ten wielomian, przenosząc jego część do drugiego wiersza:
\(\displaystyle{ \qquad a(-a^3x^4+2a^3x^3-(a^2+a^3)x^2+a^2x) \cdot \\ \ \cdot(1+a^3x^4-2a^3x^3+(a^2+a^3)x^2-a^2x)-x=0}\)

popatrzmy i pokombinujmy...

[bobek2010]

po uwzględnieniu \(\displaystyle{ x=0}\) i wymnożeniu wszystkiego jest

\(\displaystyle{ -a^7x^7+4a^7x^6-2(a^6+3a^7)x^5+4(a^6+a^7)x^4-(a^4+6a^6+a^5+a^7)x^3+2(a^4+a^5+a^6)x^2-(a^3+a^4+a^5)x+a^3-1=0}\)
ale nie wiem co dalej, próbować Hornerem czy jak?

[Dilectus]

Oznaczmy
\(\displaystyle{ W(x)=-a^3x^4+2a^3x^3-(a^2+a^3)x^2+a^2x}\)

Nie mnóż, tylko zauważ (próbowałem ci to powiedzieć w poprzednim wpisie), że przy tym oznaczeniu mamy:

\(\displaystyle{ aW(x) \cdot(1-W(x))-x=0}\)

Mozesz też (patrz pierwszy nawias) wyciągnąć \(\displaystyle{ x}\) przed nawias, a potem "skrócić" całość przez \(\displaystyle{ x}\), przy założeniu, że \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

I dalej pokmbinuj. Skłaniałbym się do przywołania wzorów skróconego mnożenia dotyczących trzeciej potęgi...

[bobek2010]

chyba nie znam tego sposobu ;/

[Dilectus]

Ja też nie...

[Kartezjusz]

Nie panikuj.Skorzystaj z uwagi Dilectusa, a potem się będziemy martwić

[bobek2010]

\(\displaystyle{ \qquad ax(-a^3x^3+2a^3x^2-(a^2+a^3)x+a^2) \cdot \\ \ \cdot(1+a^3x^4-2a^3x^3+(a^2+a^3)x^2-a^2x)-x=0 //:x \\
\qquad a(-a^3x^3+2a^3x^2-(a^2+a^3)x+a^2) \cdot \\ \ \cdot(1+a^3x^4-2a^3x^3+(a^2+a^3)x^2-a^2x)-1=0}\) a i jeszcze \(\displaystyle{ a\in[0,4]}\) oraz \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\)

[Kaf]

Rozpatrz to jako równanie kwadratowe względem \(\displaystyle{ W(x)}\).

[bobek2010]

no ok to wiem, ze są odp takie jak \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=\frac{a-1}{a}}\), lecz nie znam pozostałych wiem że jest ich conajmniej 5...