Witam, jest funkcja \(\displaystyle{ f_{a}=ax(1-x)}\) gdzie \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ a\in [0,4]}\). Do obliczenia są złożenia funkcji i przyrównać je do \(\displaystyle{ x}\) oraz wyliczyć wartości dla x tak jak w przypadku 1):
1)\(\displaystyle{ f^2(x)=a \cdot ax(1-x)(1-ax(1-x))=-a^3x^4+2a^3x^3-(a^2+a^3)x^2+a^2x}\) - podwójne złożenie funkcji
\(\displaystyle{ -a^3x^4+2a^3x^3-(a^2+a^3)x^2+a^2x=x}\)
W tym przypadku będą to cztery pierwiastki:
\(\displaystyle{ x=0 \ \ \ x=\frac{a-1}{a} \ \ \ x^*=\frac{a+1+\sqrt{a^2-2a-3}}{2a} \ \ \ x^*=\frac{a+1-\sqrt{a^2-2a-3}}{2a}}\)
2)\(\displaystyle{ f^3(x)=\cdots}\) - potrójne złożenie
3)\(\displaystyle{ f^4(x)=\cdots}\) - poczwórne złożenie
Następnie policzyć ich pochodne w konkretnych \(\displaystyle{ x}\) . ( \(\displaystyle{ (f^2)' \ \ \ (f^3)' \ \ \ (f^4)'}\)
po wyliczeniu konkretnych \(\displaystyle{ x}\) -ów podstawiamy je do wzorów i wyliczamy przedziały dla wartości \(\displaystyle{ a}\):
4)\(\displaystyle{ |(f^2(x^*))'|=1}\)
5)\(\displaystyle{ |(f^3(x^*))'|=1}\)
6)\(\displaystyle{ |(f^4(x^*))'|=1}\)