Nie rozumiem wzorów Cardano

[Borneq]

Chodzi o artykuł z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_sze%C5%9Bcienne

Rozumiem do punktu "Jak znaleźć jeden pierwiastek", znajduję jeden pierwiastek.
Działa "Następnie wybieramy liczbę \(\displaystyle{ v_0}\) taką, że \(\displaystyle{ (v_0)^3=z_0.}\)"
Jest prawidłowy pierwiastek, nie wiem nawet dlaczego nie można zastosować tego trzykrotnie, za każdym razem wybierając \(\displaystyle{ v_0}\) dla innego pierwiastka. Zastosowałem na przykładzie i było w porządku. Być może ta metoda spowoduje że pierwiastek będzie się powtarzał a z drugiej strony nie wszystkie pierwiastki pokażemy?
Więc zacząłem robić bardziej skomplikowaną metodą: "Wszystkie rozwiązania: wzory Cardano"
Jest tam :
"Wówczas liczby \(\displaystyle{ v_0,u_0}\) spełniają równania. Niech
\(\displaystyle{ y_0=v_0+u_0,}\)
\(\displaystyle{ y_1=\varepsilon_1\cdot v_0+\varepsilon_1^2\cdot u_0}\)
oraz \(\displaystyle{ y_2=\varepsilon_1^2\cdot v_0+\varepsilon_1\cdot u_0.}\)
Nie zgadza się. Poza tym tu chyba błąd, bo indeksem jest jedynka a powinna być chyba litera l. Poprawa nic nie daje. Dodatkowo wybieram niezależnie z pierwiastków w dwóch przypadkach, może się zdarzyć że \(\displaystyle{ \varepsilon_l}\) będzie równy jeden a wtedy wszystkie trzy pierwiastki będą sobie równe.
Czy warto więc użyć sposobu jak dla jednego pierwiastka, nie zawracając sobie głowy pierwiastkami trzeciego stopnia z jedynki?

-- 6 lip 2014, o 21:37 --

Spojrzę na https://www.matematyka.pl/3841.htm tam widzę dokładne wytłumaczenie wraz z przykładami
Tam są proste wzory, ale występuje pierwiastek trzeciego stopnia z funkcji od (p,q) a co gdy są one zespolone i pierwiastek kwadratowy ma dwa rozwiązania a sześcienny trzy? To nie takie proste, potem jest analiza zespolonych, ale z funkcjami trygonometrycznymi.-- 6 lip 2014, o 23:48 --Sprawdziłem, ma tam być indeks 1 (nie szkodziłby 2) ale nie l, kóre może być równe 0.

[Mariusz M]

Masz układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}}\)

Jak twoim zdaniem należałoby dobrać pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki
aby otrzymać pozostałe dwie pary liczb \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\)

Możliwe że na Wikipedii jest błąd

Poczytaj Zasady algebry wyższej Sierpińskiego

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

Z Rogalem problem jest taki że on tego artykułu nie dokończył

[Borneq]

Napisałem program według Wikipedii i jest dobrze, są trzy pierwiastki z jedynki, najpierw dobiera się ten pierwiastek aby był zgodny z wyrażeniem \(\displaystyle{ -3 \frac{v_0*u_*}{p}}\), potem bierze się inny. Jeżeli epsilon było równe 1, wtedy bierze się też jedynkę, ale gdy było drugim epsilonem, bierze się trzeci a dla trzeciego drugi.
Na koniec bierze się jeszcze jeden epsilon, nie powiązany z tymi wybranymi, warunek jest taki, aby nie był jedynką, może być jeden z dwóch, choć chyba bardziej elegancko wybrac ten dla 1/3 kąta pełnego zamiast 2/3 tego kąta.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}}\)

Jak przekształcisz ten układ do postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3v^3=-\frac{p^3}{27} \\ u^3+v^3=-q \end{cases}}\)
to zauważysz że ten układ to wzory Viete'a dla równania kwadratowego o pierwiastkach
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)


Po rozwiązaniu równania kwadratowego i wzięciu pierwiastków trzeciego stopnia
będziesz miał trzy pierwiastki z \(\displaystyle{ u^3}\) oraz trzy pierwiastki z \(\displaystyle{ v^3}\)
co daje dziewięć możliwości

Para \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\) musi spełniać układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}}\)

a więc w szczególności to równanie

\(\displaystyle{ 3uv=-p}\)

Stąd możesz odrzucić pozostałe pary

Jeśli uda ci się znaleźć jedną parę \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\)
to z obserwacji układu równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}}\)

łatwo wywnioskować jak należy dobrać pierwiastki z jedynki aby znaleźć dwie pozostałe pary