Witam
Mamy równanie:
\(\displaystyle{ (x-2)(x+4)(x-7) = 0 \Leftrightarrow x^3 -5x^2 -22x +56 = 0}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ x = y + \frac{5}{3}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y^3 - \frac{91}{3}y + \frac{272}{27} = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = - \frac{3025}{3} < 0}\), czyli:
\(\displaystyle{ \cos \phi = - \frac{136 \sqrt{91} }{8281}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \arccos \left( - \frac{136 \sqrt{91} }{8281} \right)}\)
Jeden z pierwiastków jest równy:
\(\displaystyle{ y_1 = \frac{2}{3} \sqrt{91} \cos \left( \frac{1}{3} \arccos \left( - \frac{136 \sqrt{91} }{8281} \right) \right) = \frac{16}{3}}\)
później oczywiście \(\displaystyle{ x_1 = y_1 + \frac{5}{3} = 7}\)
Oczywiście wynik \(\displaystyle{ \frac{16}{3}}\) obliczyłem kalkulatorem, ale jak sobie poradzić z tego typu wyrażeniami? Tzn zapewne są tutaj potrzebne jakieś związki, wzory pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a cyklometrycznymi. Na forum nie udało mi się znaleźć odpowiednich wyników.
Rozwiązać równanie trzeciego stopnia
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Rozwiązać równanie trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ \cos (\arccos x) = x}\)
Przy czym tutaj trzeba jeszcze uwzględnić tę \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Przy czym tutaj trzeba jeszcze uwzględnić tę \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 6 sty 2014, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Rozwiązać równanie trzeciego stopnia
No właśnie cały problem z tą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Jakiś pomysł?
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 6 sty 2014, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Rozwiązać równanie trzeciego stopnia
Mamy:
\(\displaystyle{ \cos\left( 3 \phi\right) = 4 \cos^3 \phi - 3 \cos \phi}\), zatem:
\(\displaystyle{ \cos\left( \phi\right) = 4 \cos^3 \frac{\phi}{3} - 3 \cos \frac{\phi}{3}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{136 \sqrt{91} }{8281} = 4 \cos^3 \frac{\phi}{3} - 3 \cos \frac{\phi}{3}}\)
\(\displaystyle{ t = \cos \frac{\phi}{3}}\)
\(\displaystyle{ 4t^3 - 3t + \frac{136 \sqrt{91} }{8281} = 0}\)
Otrzymuję kolejne równanie stopnia trzeciego, ale chyba nie o to chodziło.
\(\displaystyle{ \cos\left( 3 \phi\right) = 4 \cos^3 \phi - 3 \cos \phi}\), zatem:
\(\displaystyle{ \cos\left( \phi\right) = 4 \cos^3 \frac{\phi}{3} - 3 \cos \frac{\phi}{3}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{136 \sqrt{91} }{8281} = 4 \cos^3 \frac{\phi}{3} - 3 \cos \frac{\phi}{3}}\)
\(\displaystyle{ t = \cos \frac{\phi}{3}}\)
\(\displaystyle{ 4t^3 - 3t + \frac{136 \sqrt{91} }{8281} = 0}\)
Otrzymuję kolejne równanie stopnia trzeciego, ale chyba nie o to chodziło.