Rozwiązać równanie trzeciego stopnia

[Toskan]

Witam

Mamy równanie:

\(\displaystyle{ (x-2)(x+4)(x-7) = 0 \Leftrightarrow x^3 -5x^2 -22x +56 = 0}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ x = y + \frac{5}{3}}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ y^3 - \frac{91}{3}y + \frac{272}{27} = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = - \frac{3025}{3} < 0}\), czyli:
\(\displaystyle{ \cos \phi = - \frac{136 \sqrt{91} }{8281}}\)

\(\displaystyle{ \phi = \arccos \left( - \frac{136 \sqrt{91} }{8281} \right)}\)

Jeden z pierwiastków jest równy:

\(\displaystyle{ y_1 = \frac{2}{3} \sqrt{91} \cos \left( \frac{1}{3} \arccos \left( - \frac{136 \sqrt{91} }{8281} \right) \right) = \frac{16}{3}}\)

później oczywiście \(\displaystyle{ x_1 = y_1 + \frac{5}{3} = 7}\)

Oczywiście wynik \(\displaystyle{ \frac{16}{3}}\) obliczyłem kalkulatorem, ale jak sobie poradzić z tego typu wyrażeniami? Tzn zapewne są tutaj potrzebne jakieś związki, wzory pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a cyklometrycznymi. Na forum nie udało mi się znaleźć odpowiednich wyników.

[bartek118]

\(\displaystyle{ \cos (\arccos x) = x}\)
Przy czym tutaj trzeba jeszcze uwzględnić tę \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

[Toskan]

No właśnie cały problem z tą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Jakiś pomysł?

[a4karo]

Poszukaj związku między \(\displaystyle{ \cos 3\phi}\) i \(\displaystyle{ \cos \phi}\).

[Toskan]

Mamy:

\(\displaystyle{ \cos\left( 3 \phi\right) = 4 \cos^3 \phi - 3 \cos \phi}\), zatem:

\(\displaystyle{ \cos\left( \phi\right) = 4 \cos^3 \frac{\phi}{3} - 3 \cos \frac{\phi}{3}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{136 \sqrt{91} }{8281} = 4 \cos^3 \frac{\phi}{3} - 3 \cos \frac{\phi}{3}}\)

\(\displaystyle{ t = \cos \frac{\phi}{3}}\)

\(\displaystyle{ 4t^3 - 3t + \frac{136 \sqrt{91} }{8281} = 0}\)

Otrzymuję kolejne równanie stopnia trzeciego, ale chyba nie o to chodziło.