Rozkład wielomianu na czynniki

[Borneq]

Kazdy wielomian da się rozłożyć na czynniki liniowe lub co najwyżej kwadratowe. Np. \(\displaystyle{ x^4+1 = (x^2+ \sqrt{2x}+1) \cdot (x^2- \sqrt{2x}+1)}\)
Czy procedura jest taka, że trzeba znaleźć pierwiastki i po znalezieniu pierwiastka rzeczywistego dzielić przez \(\displaystyle{ (x-a)}\)? To będzie sprawdzało się do stopnia co najwyżej 4.
Jeżeli mamy wielomian i dwumian czy trójmian, to jak wygląda dzielenie? Pierwiastków rzeczywistych można poszukać numerycznie, ale jak znaleźć trójmian kwadratowy, przez który trzeba podzielić?

[Kaf]

Kazdy wielomian da się rozłożyć na czynniki liniowe lub co najwyżej kwadratowe. Np. \(\displaystyle{ x^4+1 = (x^2+ \sqrt{2x}+1) \cdot (x^2- \sqrt{2x}+1)}\)

Powinno być \(\displaystyle{ x^4+1 = (x^2+ x\sqrt{2}+1) \cdot (x^2- x\sqrt{2}+1)}\). Można rozłożyć nawet na same czynniki liniowe, o ile jesteśmy w liczbach zespolonych.

Czy procedura jest taka, że trzeba znaleźć pierwiastki i po znalezieniu pierwiastka rzeczywistego dzielić przez \(\displaystyle{ (x-a)}\)? To będzie sprawdzało się do stopnia co najwyżej 4.

Tak, chociaż jak znajdziemy zespolony pierwiastek to też możemy podzielić .

To będzie sprawdzało się do stopnia co najwyżej 4.

Niekoniecznie, są przecież wielomiany wyższego stopnia, których pierwiastki łatwo się wyznacza. Mamy przecież twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu, zawsze można też spróbować zastosować pochodną wielomianu.

Jeżeli mamy wielomian i dwumian czy trójmian, to jak wygląda dzielenie? Pierwiastków rzeczywistych można poszukać numerycznie, ale jak znaleźć trójmian kwadratowy, przez który trzeba podzielić?

Nie rozumiem drugiego pytania. Jak znajdziemy pierwiastki to znamy wielomian przez który mamy podzielić.

[a4karo]

Nie zawsze dzielisz przez trojmian. Jeżeli masz pierwiastek rzeczywisty \(\displaystyle{ a}\) to dzielisz przez \(\displaystyle{ x-a}\) (to się da zrobić bez reszty). Jeżeli natomiast masz pierwiastek zespolony \(\displaystyle{ a+bi}\), to \(\displaystyle{ a-bi}\) też jest pierwiastkiem, i wtedy dzielisz przez trójmian \(\displaystyle{ (x-(a+bi))(x-(a-bi))}\), który ma wspólczynniki rzeczywiste.

[Borneq]

Chodzi mi o rozkład na ułamki proste potrzebne do całkowania. Jeśli mamy \(\displaystyle{ (x-a)^2(x-b)}\) to mamy \(\displaystyle{ (x-a), (x-a)^2, (x-b)}\)
Natomiast jak mamy nierozkładalne w ciele rzeczywistym \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) to tak zostawiamy. Natomiast licząc pierwiastki otrzymamy zarówno rzeczywiste jak i zespolone. \(\displaystyle{ (x-z)}\) gdzie \(\displaystyle{ z}\) zespolona nie nadaje się do rozkładu na ułamki proste do całkowania (a może da się z tym coś zrobić?). Więc gdy mam pierwiastki, to osobno muszę obchodzić się z rzeczywistymi, a zespolone muszę połączyć w pary tak sprytnie, aby z pary powstał trójmian o współczynnikach rzeczywistych?

[a4karo]

Przeczytałeś poprzedni post?

[Borneq]

No tak, nie zwróciłem uwagi a tam jest to wytłumaczone, dzięki!. Założenie jest jak rozumiem, że współczynniki a,b,c,d.. są rzeczywiste i wtedy mamy taką własność.

[a4karo]

I jeszcze jedno: jeżeli chcesz rozkladac wielomiany numerycznie, to algorytm Bairstowe'a szuka czynnikow kwadratowych.

[Borneq]

Na razie myślałem nad procedurami symbolicznymi, ale numerycznie też się przyda. Myślałem że rozkład numeryczny polega na znalezieniu pierwiastka metodą Newtona lub połowienia gdy wybierzemy punkty, dla których funkcja ma różny znak. Była jakaś chyba metoda wyznaczania ilości zmiana znaku dla zakresu. O metodzie Bairstow'a nie słyszałem, dzięki za namiar. Jak patrzyłem w Google, to jest słabo znana, bo nic po polsku na jej temat nie było.

[a4karo]

Metoda Bairstowa to tak naprawdę metoda Newtona, tylko w przestrzeni dwuwymiarowej. Dla zadanego wielomianu \(\displaystyle{ W}\) szukamy dzielnika postaci \(\displaystyle{ x^2+ux+v}\). Wybieramy poczatkowe \(\displaystyle{ u,v}\) i zapisujemy \(\displaystyle{ W(x)=P(x)(x^2+ux+v) + r(u,v)x+s(u,v)}\). Teraz metodą Newtona rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ r(u,v)=0, s(u,v)=0}\).