Współczynniki wielomianu III stopnia.

[pmsg]

Witam!

Mamy dwie zmienne: X i Y. Każda z nich ma pięć wartości (dane z przysłowiowego sufitu).
X = (3.00; 3.19; 3.41; 3.53; 3.66)
i odpowiadające im wartości Y
Y = (33; 40; 21; 34; 45)
Na wykresie da nam to całkiem niezły zygzak, co można uznać za wykres funkcji nieliniowej (tak mi się przynajmniej zdaje , aczkoliwek zdaję sobie sprawę, że przy tak skromnej próbie niezbyt można tak stwierdzić z całą pewnością.

Skoro mamy krzywą, to powinno być i równanie ją opisującą (oczywiście w sposób mniej lub bardziej przybliżony). Kształt naszej krzywej sugeruje, iż będzie w to zamieszany wielomian III stopnia:

\(\displaystyle{ y = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}+ a_{3}x^{3}}\)

Znamy wartości x, znamy odpowiadające im wartości y, nie znamy współczynników a.

Z tego co poczytałem, to wypadałoby sięgnąć po metodę najmniejszych kwadratów (różnic), podobnie jak przy regresji liniowej. Znalazłem nawet całkiem przejrzyste wyprowadzenie całej metody ( ... UK_LIC.PDF - dodatek A, s. 29). Kończy się ona podaniem ogólnego wzoru na określenie współczynników wielomianu dowolnego stopnia:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}a_{0}\\a_{1}\\.\\.\\a_{n}\end{array}\right] = ft[\begin{array}{c}\Sigma y_{j}\\\Sigma x_{j}y_{j}\\.\\.\\\Sigma x_{j}^{n}y_{j}\end{array}\right] ft[\begin{array}{cccccc}m&\Sigma x_{j}&.&.&.&\Sigma x_{j}^{n}\\\Sigma x_{j}&\Sigma x_{j}^{2}&.&.&.&\Sigma x_{j}^{n+1}\\.&.&&&&.\\.&.&&&&.\\\Sigma x_{j}^{n}&\Sigma x_{j}^{n+1}&.&.&.&\Sigma x_{j}^{2n}&\end{array}\right]^{-1}}\)

gdzie:
m - ilość wartości zmiennej X, czyli w naszym przypadku 5
j - nr kolejnej wartości zmiennej X
n - stopień wielomianu

I do tego momentu jeszcze w miarę przyswajałem. O ile jestem w stanie przemnożyć macierz z macierzą lub wektor z macierzą, to za diabła nie mogę objąć moim przyciasnym rozumkiem tego -1. Wiem, że to macierz odwrotna, ale co to oznacza w praktyce? Jak to policzyć? Czy można to jakoś porównywać do dobrze znanego:
\(\displaystyle{ b^{-1}=\frac{1}{b}}\), czy to zupełnie inna bajka? Czy znalazłaby się jakaś dobra dusza z zacięciem dydaktyczno-moralizatorskim, która cierpliwie i z wyrozumiałością wytłumaczy i rozpisze powyższe działania macierzowe? Ile będą wynosić poszczególne współczynniki w rozpatrywanym przykładzie?
Poza tym trochę mnie niepokoi wzrost wykładnika potęgi (aż do 2n). W przypadku naszego wielomianu trzeciego stopnia oznacza to liczenie do szóstej potęgi. No chyba, że wybawieniem będzie tu wspomniane wcześniej -1 przy macierzy.

A może jeszcze jakiś inny sposób na określenie współczynników?

Z góry dziękuję za zainteresowanie tematem

[ Dodano: 22 Maj 2007, 21:15 ]
Kto szuka ten znajdzie...
...jak nie na forum, to w Krsicki, Wlodarski - Analiza matematyczna w zadaniach cz. I, s. 175.
A jeśli ktokolwiek ma problem z macierzami to tamże cały rozdzialik na ten temat. Jak przysłowiowej krowie na rowie. Jasno, przystępnie i z zadankami. Nawet macierz odwrotną da się wyliczyć. Polecam serdecznie.

[Fanik]

A ja napisałem program, który przez podane punkty przeprowadzi wykres krzywej wielomianowej możliwie najniższego stopnia i napisze jego współczynniki. Jak tematy jeszcze aktualny, daj znac, to pomyslimy...