Równanie kanoniczne 3 stopnia

[mortan517]

Witam wszystkich. Chciałem rozwiązać takie oto równanie trzeciego stopnia:

\(\displaystyle{ x^3 -7x^2 +7x + 15=0}\)

Wiem, że można rozwiązać dzięki twierdzeniu o pierwiastku wymiernym, poprzez grupowanie, na wyczucie umiem znaleźć pierwiastki, ale chodzi mi o rozwiązanie metodą ogólną. Sprowadziłem to równanie do postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ y^3 - \frac{28}{3} y + \frac{160}{27}=0}\), gdzie \(\displaystyle{ x=y- \frac{b}{3a}=y + \frac{7}{3}}\)

Teraz chciałem znaleźć jeden pierwiastek, żeby później móc podzielić i otrzymać równanie kwadratowe.

\(\displaystyle{ y=a+b \\ y^3=a^3+b^3 +3ab(a+b) \\ y^3 - 3aby - (a^3+b^3)=0}\)

I teraz porównałem to z moim wielomianem w postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -3ab=- \frac{28}{3} \\ -a^3-b^3= \frac{160}{27} \end{cases} \\ \begin{cases} ab= \frac{28}{9} \\ a^3+b^3=-\frac{160}{27} \end{cases}}\)

I moje pytanie teraz: jak z tego układu uzyskać \(\displaystyle{ y=a+b}\)??

Dziękuję za wszelką pomoc i pozdrawiam.

[Dilectus]

Chciałem rozwiązać takie oto równanie trzeciego stopnia

Może wzory Viete'a dla wielomianu stopnia trzeciego?

[Mariusz M]

Może wzory Viete'a dla wielomianu stopnia trzeciego?

Może jednak wzory Viete dla wielomianu stopnia drugiego ?


mortan517, podnieś obustronnie równanie \(\displaystyle{ ab= \frac{28}{9}}\) do trzeciej
potęgi a twój układ będzie wzorami Viete trójmianu kwadratowego o pierwiastkach
\(\displaystyle{ a^3}\) oraz \(\displaystyle{ b^3}\)

Przy wyciąganiu pierwiastków trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
pamiętaj aby spełniały one układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab= \frac{28}{9} \\ a^3+b^3=-\frac{160}{27} \end{cases}}\)

Jeśli miałeś podstawy liczb zespolonych to pozostałe pierwiastki możesz znaleźć używając pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
Nie potrzeba też przypadku nieprzywiedlnego rozpatrywać osobno korzystając z trygonometrii
(Jeśli znasz zespolone trygonometria wychodzi po zastosowaniu wzoru de Moivre)
Gdybyś ich nie znał musiałbyś kombinować ze wzorem na cosinus bądź sinus potrojonego kąta

Gdy już rozwiążesz te równanie to spróbuj wykorzystać ten pomysł do
rozwiązania równania czwartego stopnia
Sam pomysł działa też na równanie czwartego stopnia tyle że musisz zmodyfikować nieco podstawienia oraz układ który dostaniesz można łatwo przekształcić we wzory Viete'a dla wielomianu stopnia trzeciego

Zobacz tematy na forum

https://www.matematyka.pl/243327.htm#p911149
https://www.matematyka.pl/247212.htm

a także poszukaj przykładów wśród innych tematów na które odpowiadałem

[mortan517]

Trudnością dla mnie była ewidentnie nieznajomość liczb zespolonych, ale poczytałem co nieco i zastosowałem wzór de Moivre'a, jednak coś nie idzie.

Wyszło mi:

\(\displaystyle{ y=a+b= \frac{\sqrt[3]{-80+72 \sqrt{3} i} + \sqrt[3]{-80-72 \sqrt{3} i}}{3}}\)

Teraz policzyłem moduł oraz wartości funkcji trygonometrycznych:

\(\displaystyle{ |z|=56 \sqrt{7} \\ \cos \phi= \frac{-80}{56 \sqrt{7}} \\ \sin \phi = \frac{72 \sqrt{3}}{56 \sqrt{7}}}\)

I do wzoru trzeba mi funkcje trzeciej części kąta. Jak je uzyskać?

[Michalinho]

\(\displaystyle{ \begin{cases} -3ab=- \frac{28}{3} \\ -a^3-b^3= \frac{160}{27} \end{cases} \\ \begin{cases} ab= \frac{28}{9} \\ a^3+b^3=-\frac{160}{27} \end{cases}}\)

Cóż może jednak liczby zespolone nie będą takie potrzebne. \(\displaystyle{ ab= \frac{28}{9} \Rightarrow a=\frac{28}{9b}}\) i z metody podstawiania:
\(\displaystyle{ \left(\frac{28}{9b}\right)^3+b^3=-\frac{160}{27}}\), mnożąc obustronnie przez \(\displaystyle{ t=b^3}\), mamy:
\(\displaystyle{ t^2+\frac{160}{27}t+\left(\frac{28}{9}\right)^3=0}\) i to już jest raczej łatwe do rozwiązania. Wyznaczasz \(\displaystyle{ b}\), potem \(\displaystyle{ y=\frac{28}{9b}+b}\).

[Mariusz M]

Argument liczby zespolonej jest wyrażony wzorem

\(\displaystyle{ \arctan{\left( \frac{\Im{z}}{\Re{z}} \right) } +\pi \qquad \Re{z}<0 \wedge \Im{z}>0\\
\arctan{\left( \frac{\Im{z}}{\Re{z}} \right) } -\pi \qquad \Re{z}<0 \wedge \Im{z}<0}\)

w twoim przypadku

Gdy argument jest niezdefiniowany sam moduł wystarczy aby zidentyfikować liczbę

Możesz też sprawdzić czy podane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną
Z podanych wartości wnosisz że argument jest w drugiej ćwiartce i bierzesz inną funkcję cyklometryczną
Aby uzyskać trzecią część dzielisz przez trzy wartość otrzymaną po użyciu funkcji cyklometrycznej

Michalinho, jeśli chce rozwiązywać tym sposobem to będą mu potrzebne
a to co ty napisałeś to jedynie sposób na ominięcie wzorów Viete które dość łatwo da się zauważyć
i pozwalają natychmiast napisać równanie kwadratowe

Jeśli chcesz rozwiązać te równanie bez zespolonych to musisz wrócić do równania
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) i zastosować podstawienie \(\displaystyle{ y=u\cos{\left( \theta\right) }}\)
gdzie \(\displaystyle{ u}\) wyznaczasz tak aby równanie przybrało postać wzoru na cosinus kąta potrojonego

mortan517,

257370.htm

Tutaj masz przykład jak znajdowałem pierwiastki podobnego
równania trzeciego stopnia
(Potrzebne mi były do rozkładu równania czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów)

[mortan517]

Gdy argument jest niezdefiniowany sam moduł wystarczy aby zidentyfikować liczbę

Mógłbyś przybliżyć mi to jeszcze bardziej?

[Mariusz M]

Argument liczby zespolonej jest niezdefiniowany gdy wartość bezwzględna liczby zespolonej
jest równa zero a to zachodzi tylko dla jednego punktu

mortan517, wyobraź sobie biegunowy układ współrzędnych
Argument liczby zespolonej jest to miara kąta między osią biegunową a promieniem wodzącym
Wartość bezwzględna liczby zespolonej to długość promienia wodzącego

[mortan517]

Czyli w naszym przypadku będzie tak: \(\displaystyle{ \phi = arg(z)}\) ?

Rozumiem, że jeżeli moduł jest równy \(\displaystyle{ 0}\) to argument jest niezdefiniowany, ale u nas nie jest zerem.

[Mariusz M]

No tak myślenie od szczegółu do ogółu
W równaniu ogólnym będziesz miał ten przypadek

Równanie trzeciego stopnia możesz rozwiązywać na kilka sposobów
Jan Śniadecki w swej książce proponuje coś co wygląda na uzupełnienie do sześcianu
mol_książkowy przedstawia metodę Kaca która polega na porównaniu
wielomianu trzeciego stopnia w postaci kanonicznej z sumą sześcianów dwóch funkcji liniowych
Można też wyjść z układu równań na pierwiastki i rozwiązać równanie szóstego stopnia
o współczynnikach będących wielomianami symetrycznymi pierwiastków równania
sprowadzalnego do równania kwadratowego

Sposób który podałeś po drobnej modyfikacji nadaje się do rozwiązywania równań czwartego stopnia

[mortan517]

Czyli jak chciałbym policzyć wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-80+72 \sqrt{3} i} + \sqrt[3]{-80-72 \sqrt{3} i}}\)

to zapisuję, że są to liczba zespolona i jej sprzężenie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{\overline z}}\)

Następnie korzystając ze wzoru de Moivre'a i redukując mam:
\(\displaystyle{ 2 |z|^{\frac{1}{3}} \cos \frac{\phi}{3}}\)

I dalej po podstawieniach:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt[3]{56 \sqrt{7}} \cdot \cos \left( \frac{\arctan \left( \frac{72 \sqrt{3}}{-80}\right) + \pi}{3}\right)}\)

I jak teraz doprowadzić to do ładnego wyniku: \(\displaystyle{ 8}\) ?

-- 6 lip 2014, o 14:58 --

Dobra, już widzę, że pcham się w złą stronę : D

Nie wiem czemu, ale gdy wszedłem w liczby zespolone pozapominałem połowę metod, które są przydatne.

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-80+72 \sqrt{3} i} + \sqrt[3]{-80-72 \sqrt{3} i}=2 \left( \sqrt[3]{-10+9 \sqrt{3} i} + \sqrt[3]{-10-9 \sqrt{3} i}\right) = \\ 2 \left( \sqrt[3]{\left( 2+3i\right) ^3} + \sqrt[3]{\left( 2-3i\right) ^3}\right)=8}\)

Dziękuję wszystkim za pomoc

Pomocny był dla mnie także ten link: https://www.matematyka.pl/3841.htm

Dzięki wam Rogal i mariuszm!

[Mariusz M]

Nie tyle w złą stronę tylko tak rozwiązujesz ogóle równanie
Nie zawsze da się tak ładnie "zwinąć" liczbę zespoloną w sześcian

Masz układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} ab= \frac{28}{9} \\ a^3+b^3=-\frac{160}{27} \end{cases}}\)

Zastanów się jak dobrać pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki
aby znaleźć trzy pary liczb \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\)
spełniające ten układ

[mortan517]

Czyli w ogólności: rozwiązaniami równania trzeciego stopnia będą:

\(\displaystyle{ y_0 = a+b \\ y_1=a \epsilon + b \epsilon ^2 \\ y_2=a \epsilon ^2 + b \epsilon}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \epsilon = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}}\)

I teraz muszę tak dobrać \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), żeby spełniały te równania?

[Mariusz M]

Tak \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) które otrzymałeś po wzięciu pierwiastków trzeciego stopnia
z pierwiastków równania kwadratowego muszą spełniać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab= \frac{28}{9} \\ a^3+b^3=-\frac{160}{27} \end{cases}}\)
a szczególnie to równanie musi być spełnione \(\displaystyle{ ab= \frac{28}{9}}\)

Gdybyś spojrzał na ten układ to sam byś doszedł do wniosku że tak należy dobrać
te pierwiastki z jedynki jak to pokazałeś
\(\displaystyle{ y_0 = a+b \\ y_1=a \epsilon + b \epsilon ^2 \\ y_2=a \epsilon ^2 + b \epsilon}\)

[mortan517]

A czemu muszę sprawdzać, czy spełniają układ skoro jest on moim punktem wyjściowym? Czy dlatego, że rozwiązania są zespolone, a nie rzeczywiste?