Równanie kanoniczne 3 stopnia

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są na ogół zespolone a tam są trzy pierwiastki trzeciego stopnia

Po rozwiązaniu równania kwadratowego dostajesz \(\displaystyle{ a^3}\) oraz \(\displaystyle{ b^3}\)
Teraz musisz wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia z tych liczb
W zespolonych mamy trzy takie liczby \(\displaystyle{ a}\)
i trzy liczby \(\displaystyle{ b}\)
Jeżeli dopasujesz jedną parę to pozostałe znajdziesz używając
pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki

[mortan517]

No tak.. Cały czas mam zakodowane, że jest tylko jeden pierwiastek trzeciego stopnia z danej liczby.. Szkoła zabija myślenie. Teraz już wszystko jasne. Wielkie dzięki. Może niedługo wezmę się za czwarty stopień.

Pozdrawiam!

[Mariusz M]

No i równanie czwartego stopnia jest ostatnim jakie możesz rozwiązać elementarnie
Możesz wykorzystać do tego ten sam pomysł który tutaj przedstawiłeś
albo rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

Mortan jak rozwiązałbyś równanie

\(\displaystyle{ -21x^4-77x^3-32x^2+29x-3=0}\)

używając pomysłu którego tutaj przedstawiłeś

Wskazówka:    

Spróbuj podstawień
\(\displaystyle{ x=y- \frac{11}{12}\\
y=u+v+w}\)
a w ogólności
\(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}\\
y=u+v+w}\)

[mortan517]

Wiem, wiem. Twierdzenie Abella-ruffiniego.

Zrobię podstawienia i napiszę co wyszło.

-- 7 lip 2014, o 15:05 --

Teraz już poczytałem i wiem dlaczego podstawiamy właśnie \(\displaystyle{ x=y-\frac{b}{na}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) to stopień równania.

Zmodyfikujmy lekko równanie: \(\displaystyle{ 21x^4 + 77x^3 + 32x^2 - 29x + 3 = 0}\)

Gdzie \(\displaystyle{ x=y- \frac{7 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 7} =y- \frac{11}{12}}\)

Po podstawieniu (sprowadzenie do kanonicznego) mam:

\(\displaystyle{ 21y^4 - \frac{591}{8} y^2 + \frac{3005}{72}y + \frac{27625}{2304} = 0}\)

Dobrze?

[Mariusz M]

Wynik tego podstawienia powinien być dobry
Dla wygody możesz jeszcze podzielić przez \(\displaystyle{ 21}\)

Zastosuj to drugie podstawienie i spróbuj przekształcić otrzymane równanie
w układ równań który jest wzorami Viete'a dla równania trzeciego stopnia
o pierwiastkach \(\displaystyle{ a^2}\) oraz \(\displaystyle{ b^2}\) oraz \(\displaystyle{ c^2}\)

To drugie podstawienie jest analogiczne do tego którego użyłeś do
równania trzeciego stopnia z tym że teraz będzie ono sumą trzech składników

Zauważ że stosujemy metodę analogiczną do tej którą zaproponowałeś
dla równania trzeciego stopnia i że w ogólnym równaniu czwartego stopnia
nie da się uniknąć równania trzeciego stopnia

[mortan517]

Czyli muszę \(\displaystyle{ \left( a+b+c\right) ^4}\) pozwijać tak, aby otrzymać wyrażenia:

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \\ a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \\ a^2b^2c^2}\)

Czy dobrze myślę? (analogia do 3. stopnia)

[Mariusz M]

Tak po wstawieniu sumy do równania musisz tak pozwijać aby otrzymać układ równań co podałeś
Oczywiście po podstawieniu i przekształceniu równania w układ najpierw otrzymasz
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2+c^2 \\ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\\abc \end{cases}}\)
i wtedy podnieść ostatnie równanie obustronnie do kwadratu
no ale podobną sytuację już miałeś już przy równaniu trzeciego stopnia


Po wstawieniu sumy do równania będziesz miał coś takiego

\(\displaystyle{ \left( a+b+c\right) ^4+p\left( a+b+c\right) ^2+q\left( a+b+c\right) +r=0}\)

i teraz to zwijasz
(Z twojej wiadomości wynika że chciałbyś zwijać samo \(\displaystyle{ \left( a+b+c\right) ^4}\))

[mortan517]

To mam coś takiego:

\(\displaystyle{ (a+b+c)^4=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)^2=\left( a^2+b^2+c^2\right)^2 + 2 \cdot \left( a^2+b^2+c^2\right) \cdot \left( 2ab+2bc+2ac\right) + \left( 2ab+2bc+2ac\right)^2}\)

I co dalej?-- 7 lip 2014, o 22:43 --Chciałem wyprowadzić ogólny (w przypadku 3. stopnia było łatwo ;] )

Zaraz zobaczę to jeszcze raz.

[Mariusz M]

Ostatni kwadrat możesz jeszcze rozpisać

Dodaj resztę wyrazów równania
\(\displaystyle{ \left( a+b+c\right) ^4+p\left( a+b+c\right) ^2+q\left( a+b+c\right) +r=0}\)

Jak dodasz wszystkie wyrazy to kilka rzeczy ci się pozwija i wtedy będziesz mógł
napisać układ równań podobnie jak w przypadku równania trzeciego stopnia

[mortan517]

\(\displaystyle{ \left( a^2+b^2+c^2\right)^2 + 2 \cdot \left( a^2+b^2+c^2\right) \cdot \left( 2ab+2bc+2ac\right) + 4\left[ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2abc\left( a+b+c\right) \right] + p\left( a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right) + q(a+b+c) + r}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \left( a^2+b^2+c^2\right)^2 + 2 \cdot \left( a^2+b^2+c^2\right) \cdot \left( 2ab+2bc+2ac\right) + 4\left[ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2abc\left( a+b+c\right) \right] + p\left( a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right) + q(a+b+c) + r}\)

rozbij nawiasy \(\displaystyle{ 4\left[ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2abc\left( a+b+c\right) \right]}\)
oraz \(\displaystyle{ p\left( a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)}\)
i pogrupuj wyrazy tak aby coś można było pozwijać

[mortan517]

Dzisiaj nie idzie (jakąś blokadę mam), spróbuję znowu jutro. Dzięki za pomoc.

edit:

Myślałem teraz żeby podstawić z powrotem:
\(\displaystyle{ p\left( a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)=py^2 \\ a+b+c=y \\ 2ab+2bc+2ac = 2ab+2bc+2ac +a^2+b^2+c^2 - (a^2+b^2+c^2)= y^2- (a^2+b^2+c^2)}\)

[Mariusz M]

Nie tak przecież napisałem ci żebyś pogrupował

\(\displaystyle{ \left( a^2+b^2+c^2\right)^2 + 2 \cdot \left( a^2+b^2+c^2\right) \cdot \left( 2ab+2bc+2ac\right) + 4\left[ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2abc\left( a+b+c\right) \right] + p\left( a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right) + q(a+b+c) + r=0\\
\left( a^2+b^2+c^2\right)^2 + 4 \cdot \left( a^2+b^2+c^2\right) \cdot \left( ab+bc+ac\right) + 4\left( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right) + 8abc\left( a+b+c\right) + p\left( a^2+b^2+c^2\right)+2p\left(ab+bc+ac\right) + q(a+b+c) + r=0\\
\left( a^2+b^2+c^2\right)^2+p\left( a^2+b^2+c^2\right)+4 \cdot \left( a^2+b^2+c^2\right) \cdot \left( ab+bc+ac\right)+2p\left(ab+bc+ac\right)+8abc\left( a+b+c\right)+q(a+b+c)+4\left( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+r=0\\
\left( a^2+b^2+c^2+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}+4 \cdot \left( a^2+b^2+c^2+\frac{p}{2}\right) \cdot \left( ab+bc+ac\right)+\left( a+b+c\right)\left( 8abc+q\right)+4\left( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+r=0\\}\)

O to mi chodziło , mam nadzieję że nie zgubiłem wyrazów

Myślałem teraz żeby podstawić z powrotem:

Zapomniałeś o tym że po podstawieniu mieliśmy dostać układ równań będący wzorami Viete
równania trzeciego stopnia

[mortan517]

Może na razie odpuszczę sobie czwarty stopień

[Mariusz M]

Równanie czwartego stopnia możesz rozwiązywać w podobny sposób

Po porównaniu współczynników powinieneś dostać układ równań
który łatwo przekształcisz we wzory Vieta dla wielomianu trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ x^4+px^2+qx+r=0\\
x=a+b+c\\
x^4=-px^2-qx-r\\
\left( a+b+c\right)^4=2\left( a^2+b^2+c^2\right)\left( a+b+c\right)^2+8abc\left( a+b+c\right)+4\left( a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)-\left( a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Porównujesz współczynniki i masz układ równań który łatwo
przekształcisz do postaci wzorów Vieta dla wielomianu trzeciego stopnia
o pierwiastkach \(\displaystyle{ a^2,b^2,c^2}\)