Nierówność wielomianowa zawsze spełniona.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 18 cze 2014, o 17:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
Nierówność wielomianowa zawsze spełniona.
\(\displaystyle{ }\)Witam,
zmagam się z pewnym zadaniem i nie jest pewien czy dobrze je robię.
Wykaż, że nierówność \(\displaystyle{ x^{6} + 4x^{4} + x 6x^{2}- x + 9 > 0}\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.
\(\displaystyle{ x^{4} (x^{2} + 4)+ 6x^{2} -x + 9 > 0}\)
Delta \(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 < 0}\), więc wykres leży nad osią i nierówność musi być dodatnia.
Co zrobić z tym pierwszym członem i czy trzeba jeszcze przeprowadzać jakieś dowodzenie?
zmagam się z pewnym zadaniem i nie jest pewien czy dobrze je robię.
Wykaż, że nierówność \(\displaystyle{ x^{6} + 4x^{4} + x 6x^{2}- x + 9 > 0}\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.
\(\displaystyle{ x^{4} (x^{2} + 4)+ 6x^{2} -x + 9 > 0}\)
Delta \(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 < 0}\), więc wykres leży nad osią i nierówność musi być dodatnia.
Co zrobić z tym pierwszym członem i czy trzeba jeszcze przeprowadzać jakieś dowodzenie?
Ostatnio zmieniony 18 cze 2014, o 18:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu.
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu.
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Wykaż, że...
Jeżeli masz nierówność: \(\displaystyle{ x^{6} + 4x^{4} + 6x^{2}- x + 9 > 0}\)
To wystarczy, że pokażesz:
\(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 >0 \wedge x^{4} (x^{2} + 4) > 0}\)
Twój wielomian po lewej stronie jako suma dwóch funkcji dodatnich (prawie dla wszystkich rzeczywistych) też musi być dodatni.
Dlaczego prawie? Bo dla \(\displaystyle{ x=0}\) druga nierówność nie jest spełniona i musisz to sprawdzić ręcznie.
Co do twojego zapisu to błędem jest pisanie w taki sposób:
To wystarczy, że pokażesz:
\(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 >0 \wedge x^{4} (x^{2} + 4) > 0}\)
Twój wielomian po lewej stronie jako suma dwóch funkcji dodatnich (prawie dla wszystkich rzeczywistych) też musi być dodatni.
Dlaczego prawie? Bo dla \(\displaystyle{ x=0}\) druga nierówność nie jest spełniona i musisz to sprawdzić ręcznie.
Co do twojego zapisu to błędem jest pisanie w taki sposób:
Oczywiście wyróżnik tego trójmianu jest ujemny, ale ta nierówność nigdy nie będzie spełniona.Delta \(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 < 0}\), więc wykres leży nad osią i nierówność musi być dodatnia.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Wykaż, że...
Nie zgadzam się z pogrubionym. Jeśli masz sumę dwóch wyrażeń, z których jedno jest nieujemne dla każdego\(\displaystyle{ x \in \RR}\), a drugie jest zawsze dodatnie dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to ta suma jest dodatnia dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\).mortan517 pisze:
Dlaczego prawie? Bo dla \(\displaystyle{ x=0}\) druga nierówność nie jest spełniona i musisz to sprawdzić ręcznie.
PS Tak już totalnie czepiając się, to Twoje założenie jest fałszywe, bo ta koniunkcja nie zachodzi dla \(\displaystyle{ x=0}\).
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Nierówność wielomianowa zawsze spełniona.
Moje założenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\). Dlatego też napisałem, że dla PRAWIE wszystkich rzeczywistych. To tylko mój sposób rozwiązania.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 18 cze 2014, o 17:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
Nierówność wielomianowa zawsze spełniona.
Czyli wystarczy, że zapisze te dwa równania \(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 >0 \wedge x^{4} (x^{2} + 4) > 0}\), dla x = 0 rozwiąże nierówność czyli będę miał 9 > 0 i tyle?
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Nierówność wielomianowa zawsze spełniona.
Wystarczy, że wykażesz prawdziwość tych nierówności albo zrobisz tak jak proponuje Premislav.
Zapisujesz dwie nierówności:
\(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 >0 \\ x^{4} (x^{2} + 4) \ge 0}\)
Dodając je do siebie otrzymujemy wielomian, który jest zawsze dodatni i już nie musisz sprawdzać, co dzieje się dla \(\displaystyle{ x=0}\).
Zapisujesz dwie nierówności:
\(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 >0 \\ x^{4} (x^{2} + 4) \ge 0}\)
Dodając je do siebie otrzymujemy wielomian, który jest zawsze dodatni i już nie musisz sprawdzać, co dzieje się dla \(\displaystyle{ x=0}\).