Nierówność wielomianowa zawsze spełniona.

[FKP]

\(\displaystyle{ }\)Witam,
zmagam się z pewnym zadaniem i nie jest pewien czy dobrze je robię.

Wykaż, że nierówność \(\displaystyle{ x^{6} + 4x^{4} + x 6x^{2}- x + 9 > 0}\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

\(\displaystyle{ x^{4} (x^{2} + 4)+ 6x^{2} -x + 9 > 0}\)

Delta \(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 < 0}\), więc wykres leży nad osią i nierówność musi być dodatnia.

Co zrobić z tym pierwszym członem i czy trzeba jeszcze przeprowadzać jakieś dowodzenie?

[musialmi]

To jest poziom liceum czy możesz korzystać z pochodnych?
A jak dotychczas, to niestety, robisz je fatalnie

[mortan517]

Jeżeli masz nierówność: \(\displaystyle{ x^{6} + 4x^{4} + 6x^{2}- x + 9 > 0}\)

To wystarczy, że pokażesz:
\(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 >0 \wedge x^{4} (x^{2} + 4) > 0}\)

Twój wielomian po lewej stronie jako suma dwóch funkcji dodatnich (prawie dla wszystkich rzeczywistych) też musi być dodatni.

Dlaczego prawie? Bo dla \(\displaystyle{ x=0}\) druga nierówność nie jest spełniona i musisz to sprawdzić ręcznie.


Co do twojego zapisu to błędem jest pisanie w taki sposób:

Delta \(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 < 0}\), więc wykres leży nad osią i nierówność musi być dodatnia.

Oczywiście wyróżnik tego trójmianu jest ujemny, ale ta nierówność nigdy nie będzie spełniona.

[Premislav]

Dlaczego prawie? Bo dla \(\displaystyle{ x=0}\) druga nierówność nie jest spełniona i musisz to sprawdzić ręcznie.

Nie zgadzam się z pogrubionym. Jeśli masz sumę dwóch wyrażeń, z których jedno jest nieujemne dla każdego\(\displaystyle{ x \in \RR}\), a drugie jest zawsze dodatnie dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to ta suma jest dodatnia dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\).
PS Tak już totalnie czepiając się, to Twoje założenie jest fałszywe, bo ta koniunkcja nie zachodzi dla \(\displaystyle{ x=0}\).

[mortan517]

Moje założenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\). Dlatego też napisałem, że dla PRAWIE wszystkich rzeczywistych. To tylko mój sposób rozwiązania.

[FKP]

Czyli wystarczy, że zapisze te dwa równania \(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 >0 \wedge x^{4} (x^{2} + 4) > 0}\), dla x = 0 rozwiąże nierówność czyli będę miał 9 > 0 i tyle?

[mortan517]

Wystarczy, że wykażesz prawdziwość tych nierówności albo zrobisz tak jak proponuje Premislav.

Zapisujesz dwie nierówności:
\(\displaystyle{ 6x^{2} -x +9 >0 \\ x^{4} (x^{2} + 4) \ge 0}\)

Dodając je do siebie otrzymujemy wielomian, który jest zawsze dodatni i już nie musisz sprawdzać, co dzieje się dla \(\displaystyle{ x=0}\).

[FKP]

Dobra, dzieki wielkie.