Brak wspólnego czynnika - jak tutaj wyłączać?

[Grzyboo]

\(\displaystyle{ x^{3} - 3x - 2 \\
x^{3} + x - 10}\)

Jak się brać za wyłączanie czynnika w takich wyrażeniach? Nie ma tu ani wzorów skróconego mnożenia, ani nie da się nic wyłączyć przez grupowanie.

[k3fe]

1. \(\displaystyle{ x^3-3x-2=x^3-x-2x-2=x(x^2-1)-2(x+1)=x(x-1)(x+1)-2(x+1)=...}\)

[Grzyboo]

Rzeczywiście, dziękuję za pomoc.

[kerajs]

TW.
Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych posiada pierwiastek wymierny to pierwiastek ten musi być \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie p to dzielnik wyrazu wolnego, z q to dzielnik współczynnika przy największej potędze niewiadomej.

Równanie \(\displaystyle{ x ^{3}-3x-2=0}\) zawiera wielomian o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ W\left( x\right)= x ^{3}-3x+2}\). Zgodnie z powyższym twierdzeniem \(\displaystyle{ p \in \left\{ 1,2\right\}}\), a \(\displaystyle{ q=1}\)
Daje to ułamki \(\displaystyle{ \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{2}{1}}\) co po skróceniu daje liczby:\(\displaystyle{ 1,-1,2,-2}\). Sprawdzasz które z nich zerują wielomian
\(\displaystyle{ W\left( 1\right)= 1 ^{3}-3 \cdot 1-2 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ W\left( -1\right)=\left( -1\right) ^{3}-3 \cdot\left( -1\right) -2 = 0}\)
Liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oznacza to że wielomian można przedstawić w postaci iloczynowej \(\displaystyle{ W\left( x\right)= x ^{3}-3x-2 =\left( x-\left( -1\right) \right)F\left( x\right)}\). Wielomian F znajdujesz z pisemnego dzielenia wielomianu W przez dwumian x+1.
Otrzymujesz \(\displaystyle{ W\left( x\right)= x ^{3}-3x-2 =\left( x+1\right)\left( x ^{2}-x-2 \right)}\).
A trójmian potrafisz już rozłożyć na postać iloczynową.
\(\displaystyle{ \left( x+1\right)\left( x-2 \right)\left( x+1\right)}\)
Jeśli żadna z liczb nie wyzeruje wielomianu to nie posiada on pierwiastków wymiernych. Zastosujesz wtedy wzory Cardano.

Spróbuj samodzielnie rozłożyć drugi wielomian. Wynik to \(\displaystyle{ \left( x-2\right)\left( x ^{2}+2x+5 \right)}\)