Równanie wielomianowe.

[DMG]

Nie mam większego problemu jeżeli chodzi o rozwiązywanie równań jednak trafiłem na takie, z którym mam problem.

\(\displaystyle{ 3x^{3} - 7x ^{2} -7x + 3 = 0}\)

co dalej zrobić?

[Igor V]

Np:
Sprawdź że \(\displaystyle{ w(-1)=0}\) i dzielenie wielomianów.

[DMG]

Chodzi mi bardziej o rozwiązywanie w taki sposób, że zamieniam to na postać ilocznową(?) i każdy nawias przyrównuje do zera, wyliczam każdego x. Nie wiem jak zacząć w tym równaniu i sposób, który jest w/w raczej nie mi nie podchodzi.

[Igor V]

To postać ilocznową będziesz miał jak znajdziesz pierwiastki
A miałeś tw.Bezouta ? , dzielenie wielomianów ,schemat Hornera ?

[DMG]

Dawno temu, ale miałem. Muszę sobie to przypomnieć.

[Igor V]

To warto by było bo to najszybsze sposoby.PS zobacz sobie jeszcze tw.o pierwiastku całkowitym i wymiernym w równaniach wielomianowych.

[DMG]

Zrobiłem to w ten sposób ;D

\(\displaystyle{ 3x ^{3}-7x ^{2}-7x +3=0}\)

wyciągnąłem to co się dało przed nawias:

\(\displaystyle{ x ^{2}(3x-7)-2 \frac{1}{2} (3x-7)=0}\)

więc:

\(\displaystyle{ (x^{2} -2 \frac{1}{3} )(3x-7)=0}\)

Szukane pierwiastki wyszły:

\(\displaystyle{ x= 2 \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ x= \sqrt{2 \frac{1}{3}}}\)

\(\displaystyle{ x= - \sqrt{2 \frac{1}{3}}}\)

nie wiem czy to jest dobrze :/

[kropka+]

Źle.
Wyciągnij przed nawiasy \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -7x}\) a potem skorzystaj ze wzoru na sumę sześcianów.

[VillagerMTV]

Niestety źle wyciągnąłeś. Pomnóż drugi nawias i zobaczy czy Ci wychodzi to co miałeś na początku.

Swoją drogą rozwiązania możesz sprawdzać podstawiając pierwiastki i powinno Ci wyjść \(\displaystyle{ 0=0}\)

[Dilectus]

Popatrz: Igor zauważył, że pierwiastkiem Twojego wielomianu jest liczba \(\displaystyle{ -1}\). Podziel więc ten wielomian przez \(\displaystyle{ x+1}\):

\(\displaystyle{ (3x^{3} - 7x ^{2} -7x + 3): (x+1)= 3x^2-10x+3}\)

Teraz rozłóż otrzymany trójmian kwadratowy. W rezultacie uzyskasz

\(\displaystyle{ 3x^{3} - 7x ^{2} -7x + 3= (x+1)(x- \frac{1}{3})(x-3)=0}\)

[DMG]

Popatrz: Igor zauważył, że pierwiastkiem Twojego wielomianu jest liczba \(\displaystyle{ -1}\).

W jaki sposób on to zauważył, nic nie ogarniam. Patrzę na przykład i nie da się niczego wyciągnąć tak aby nawiasy były identyczne więc nie potrafię dalej ruszyć. Wasze propozycji są okej i one na pewno pomogą jednakże nie wiem jak zacząć, skąd wywnioskować dane, które zostały wyżej rozpisane.

[Zahion]

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

[mortan517]

\(\displaystyle{ 3x^3 -7x^2 -7x + 3 = 3x^3 + 3 -7x^2 -7x= 3(x^3+1) - 7x(x+1) = 3(x+1)(x^2-x+1) -7x(x+1)}\)

A to czy \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem to można sprawdzać zawsze (długo to nie trwa).

[DMG]

Ogarnąłem to twierdzenie, o którym wspomniał Zahion. Czyli przez samo \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) dzieląc dzielniki ostatniej i pierwszej liczby mogę wyszukać już pierwiastki tak?

Następnie potencjalne pierwiastki podstawiam i liczę każdy po kolei?

[mortan517]

Tak. I sprawdzasz wtedy, czy się wyzeruje. Ale na początku warto sprawdzić \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\) albo jak widzisz drogę to rozkładać na czynniki od razu. (metoda grupowania)