Podzielność wielomianów

[zxcvbnmqwertyuiop]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) różny od wielomianu zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\), dla którego \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot P(x)}\). Wówczas wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\)nazywamy ilorazem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(X)}\). Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest dzielnikiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\).

Czy jak zapisuje ten wielomian w formie \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot P(x)}\) to \(\displaystyle{ P(x)}\) nie może mieć miejsc zerowych czy jak no bo skoro jest podzielny...

[pyzol]

\(\displaystyle{ P(x)}\) ma być różny od wielomianu zerowego. A miejsca zerowe, to może mieć.

[zxcvbnmqwertyuiop]

No ale jak podzielimy razem z miejscem zerowym to będziesz miał dzielenie przez zero

[pyzol]

A gdzie w definicji masz dzielenie?

[zxcvbnmqwertyuiop]

Myślałem że skoro w momencie: wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\)nazywamy ilorazem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(X)}\),
\(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\). Mam nadzieje że mnie zrozumiesz xd

[pyzol]

Pewnie, że rozumiem. Wielomiany też dzielimy.
\(\displaystyle{ \frac{x^2-1}{x+1}=x-1}\) dla \(\displaystyle{ x\neq -1}\), bo dla \(\displaystyle{ x=-1}\) nie ma to sensu.

[zxcvbnmqwertyuiop]

No dobra a jak powiedzmy mamy że \(\displaystyle{ x ^{2}-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ (x+1)}\)
więc skoro jest podzielny to \(\displaystyle{ x\neq -1}\), czyli możemy to zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{x^2-1}{x+1}=x-1}\) dla \(\displaystyle{ x\neq -1}\), no bo równie dobrze możemy zapisać że
\(\displaystyle{ x ^{2}-1= (x+1)(x-1)}\) i wtedy już dziedzina będzie określona dla R i też zawarliśmy informacje że jest podzielne i tu mam problem.

[yorgin]

Następuje w tym temacie chyba pewne pomieszanie pojęć.

Podzielność wielomianów definiuje się nie przez kreskę ułamkową, a przez poniższe:

Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) dzieli \(\displaystyle{ W(x)}\), gdy istnieje \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ W(x)=P(x)Q(x)}\).

Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{P(x)}}\) jest funkcją wymierną o dziedzinie równej \(\displaystyle{ \RR\setminus \{x\in\RR: P(x)=0\}}\) i jest równe \(\displaystyle{ Q(x)}\) wszędzie tam, gdzie \(\displaystyle{ P(x)\neq 0}\). Już na pewno nie można w tej konwencji zapisać, że \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{P(x)}=Q(x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in\RR}\).

Zatem wracając do problemu z pierwszego posta - wielomian \(\displaystyle{ P}\) może mieć miejsca zerowe i nie psuje to podzielności tych wielomianów. Ty nie dzielisz wartości liczbowych, ale wielomiany jako całość, więc nie ma sensu podstawianie konkretnych liczb celem "badania podzielności".

[zxcvbnmqwertyuiop]

Czyli dobrze rozumiem że
\(\displaystyle{ x ^{2}-1= Q(x)(x-1)|:(x-1)}\) dla R
\(\displaystyle{ x+1=Q(x)}\)
? Ale z tym zadaniem mi się wszystko paprze ;/
Dane są wielomiany \(\displaystyle{ P(x)=5x-4, Q(x)=6x+5,S(x)=3x ^{2} +2x+1}\). Wielomian \(\displaystyle{ V(x)}\) jest iloczynem wielomianów \(\displaystyle{ P(x)}\) i\(\displaystyle{ Q(x)}\), a wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest iloczynem wielomianów
\(\displaystyle{ P(x)}\),\(\displaystyle{ Q(x)}\),\(\displaystyle{ S(x)}\)
Wyznacz wszystkie liczby \(\displaystyle{ x}\), dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ W(x)=V(x)}\)
\(\displaystyle{ (5x-4) \cdot (6x + 5) =(5x-4) \cdot (6x + 5) \cdot S(x)=3x ^{2} +2x+1|: (5x-4) \cdot (6x + 5)}\)
i tu już musze ?dla \(\displaystyle{ (5x-4) \cdot (6x + 5)\neq -1}\) a potem rozpatrywać oddzielny przypadek dla
\(\displaystyle{ (5x-4) \cdot (6x + 5)=0}\)? i dlaczego tu musze a tak to nie...