Promień podstawy stożka ma długość R, a jego wysokość długość H. W stożek ten wpisano walec o największej objętości, którego podstawa leży w podstawie stożka. Jakie są wymiary walca?
Oznaczyłem:
R - długość promienia podstawy stożka
H - wysokość stożka
h - wysokość walca
r - długość promienia podstawy walca
Brak pomysłu na skonstruowanie odpowiedniej funkcji w zależności od R czy H.
Odpowiedzi:
\(\displaystyle{ r = \frac{2R}{3}}\)
\(\displaystyle{ h = \frac{H}{3}}\)
walec wpisano w stożek, optymalizacja
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
walec wpisano w stożek, optymalizacja
Jeżeli naszkicujesz przekrój tego stożka i walca, to z twierdzenia Talesa dostaniesz natychmiast
\(\displaystyle{ \frac{h}{R-r}=\frac{H}{R}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ h=\frac{H}{R}(R-r)}\)
i funkcja objętości wygląda tak:
\(\displaystyle{ V(r)=\frac{H}{R}\pi r^2(R-r)=\frac{H}{R}\pi (Rr^2-r^3)}\)
Dalej już łatwo
\(\displaystyle{ V'(r)=\frac{H}{R}\pi (2Rr-3r^2)}\)
Szukamy miejsc zerowych pochodnej
\(\displaystyle{ 2Rr-3r^2=0}\)
\(\displaystyle{ r(2R-3r)=0}\)
\(\displaystyle{ r=0\vee r=\frac23R}\)
Jeszcze tylko patrzymy jak zmienia znaki pochodna i dostajemy, że dla \(\displaystyle{ r=\frac23R}\) funkcja osiąga maksimum. Pozostaje jedynie policzyć jeszcze \(\displaystyle{ h}\).
\(\displaystyle{ \frac{h}{R-r}=\frac{H}{R}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ h=\frac{H}{R}(R-r)}\)
i funkcja objętości wygląda tak:
\(\displaystyle{ V(r)=\frac{H}{R}\pi r^2(R-r)=\frac{H}{R}\pi (Rr^2-r^3)}\)
Dalej już łatwo
\(\displaystyle{ V'(r)=\frac{H}{R}\pi (2Rr-3r^2)}\)
Szukamy miejsc zerowych pochodnej
\(\displaystyle{ 2Rr-3r^2=0}\)
\(\displaystyle{ r(2R-3r)=0}\)
\(\displaystyle{ r=0\vee r=\frac23R}\)
Jeszcze tylko patrzymy jak zmienia znaki pochodna i dostajemy, że dla \(\displaystyle{ r=\frac23R}\) funkcja osiąga maksimum. Pozostaje jedynie policzyć jeszcze \(\displaystyle{ h}\).