Rozkład wielomianu na ułamki proste

[xXartik10Xx]

Jest wielomian:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{3}+x^{2}+2x-4}{x^{2}(x^{2}+x+1)}}\)
Chodzi mi o zapisanie go w postaci ułamków prostych i wg sposobu E-trapeza wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{3}+x^{2}+2x-4}{x^{2}(x^{2}+x+1)} = \frac{A}{x}+ \frac{B}{x}+ \frac{Cx+D}{(x^{2}+x+1)}}\)
A on robi to w sposób taki:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{3}+x^{2}+2x-4}{x*x(x^{2}+x+1)} = \frac{A}{x}+ \frac{B}{x^{2}}+ \frac{Cx+D}{(x^{2}+x+1)}}\)
Powód jest taki, że jest \(\displaystyle{ x^{2}}\) ale przecież można go zapisać jako 2 odrębne ułamki stopnia pierwszego czyli \(\displaystyle{ x*x}\)
Co rozumiem źle? Bo jak mniemam mój sposób jest błędny i A=B.

[Ania221]

\(\displaystyle{ \frac{ x^{3}+x^{2}+2x-4}{x^{2}(x^{2}+x+1)} = \frac{A}{x}+ \frac{B}{x}+ \frac{Cx+D}{(x^{2}+x+1)}}\)A jaki będzie Twój wspólny mianownik, po prawej stronie? czy taki sam jak po lewej?

[xXartik10Xx]

Jasne że taki sam! Nie widzę problemu żeby był taki sam... I nie takie było moje pytanie.

[Kacperdev]

Jasne że taki sam! Nie widzę problemu żeby był taki sam... I nie takie było moje pytanie.

\(\displaystyle{ \frac{ x^{3}+x^{2}+2x-4}{x^{2}(x^{2}+x+1)} = \frac{A}{x}+ \frac{B}{x}+ \frac{Cx+D}{(x^{2}+x+1)} = \frac{A+ B}{x}+ \frac{Cx+D}{(x^{2}+x+1)}}\)

Hm... no to po co się trudzić. Niech jakieś \(\displaystyle{ Z=A+B}\)

\(\displaystyle{ \frac{A+ B}{x}+ \frac{Cx+D}{(x^{2}+x+1)} = \frac{Z}{x}+ \frac{Cx+D}{(x^{2}+x+1)}}\)

Teraz chcemy do wspólnego mianownika. Ale to oznaczałby, że ostatecznie zarówno licznik jak i mianownik musielibyśmy pomnożyć razy \(\displaystyle{ x}\) (w koncu chcemy miec mianownik postaci:\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}+x+1)}\) ) czyli w liczniku nie byłoby w ogole wyrazów wolnych!

Widzisz, że coś nie halo?

[kerajs]

Poniższy rozkład ułamka (o który pytasz)
\(\displaystyle{ \frac{P}{x ^{2} }= \frac{A}{x }+\frac{B}{x }}\)
jest awykonalny, bo jak widać po sprowadzeniu do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{P}{x ^{2} }= \frac{x\left( A+B \right) }{x ^{2}}}\)
jedyne wartości stałych spełniające to równanie są samymi zerami, a przecież ,,P' nie jest zerem (skoro ułamek istnieje) więc mamy sprzeczność.

Abstrahując od Twojego pytania, to przykład który podałeś nie można w tej postaci rozkładać na ułamki proste. Pierwszym krokiem powinno być sprawdzenie czy stopień wielomianu w mianowniku jest większy niż stopień wielomianu w liczniku. Jeśli tak nie jest, to wyrażenie wymierne za pomocą dzielenia (lub sztuczek podawanych przez wykładowców) doprowadzasz do postaci
\(\displaystyle{ \frac{W _{m}\left( x\right) }{G _{n}\left( x\right) }=F _{m-n}\left( x\right) + \frac{R _{k}\left( x\right) }{G _{n}\left( x\right) }}\)
gdzie W,G,F,R to wielomiany stopnnia odpowiednio m,n,m-n,k; przy czym \(\displaystyle{ m>n \wedge k<n}\).

Dopiero teraz ułamek \(\displaystyle{ \frac{R _{k}\left( x\right) }{G _{n}\left( x\right)}}\) ( gdzie R(x) to reszta z dzielenia wielonianu W(x) przez wielomian G(x) ) można rozłożyć na ułamki proste.