Wykaż, że nie istnieje taki wielomian...

[mickey1701]

Witam. Jako że matura rozszerzona z matematyki zbliża się wielkimi krokami postanowiłem sobie trochę poćwiczyć. Przerabiałem ostatnio maturę z czerwca 2011 i natknąłem się na takie zadanie:

6. Wykaż, że nie istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: \(\displaystyle{ W\left( 2\right) = 3}\) i \(\displaystyle{ W\left( -2\right) = 2}\).

Moje rozwiązanie:


Założenia: \(\displaystyle{ a, b, c, d \in C}\)
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)

\(\displaystyle{ W\left( 2\right) = 3 \Rightarrow 8a + 4b + 2c + d = 3

W\left( -2\right) = 2 \Rightarrow -8a + 4b - 2c + d = 2}\)

Mamy układ równań:

\(\displaystyle{ 8a + 4b + 2c + d = 3}\)
\(\displaystyle{ -8a + 4b - 2c + d = 2}\)

\(\displaystyle{ 8b + 2d = 5}\)
\(\displaystyle{ 2(4b + d) = 5}\)
\(\displaystyle{ 4b + d = \frac{5}{2}}\)

Skoro \(\displaystyle{ b, d \in C}\), to \(\displaystyle{ 4b + d \neq \frac{5}{2}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \frac{5}{2}\not \in C}\). Co kończy dowód.

Tak na logikę myślę, że się zgadza, jednak mam wątpliwości. W modelu odpowiedzi jednak za dowód uznane jest wykazanie, że prawa strona równania \(\displaystyle{ 2(4b + d) = 5}\) jest nieparzysta, a lewa jest parzysta. Nie ma żadnej wzmianki o moim sposobie. Mam zatem pytanie, czy mimo to, mój dowód jest poprawny? Jeśli nie, to dlaczego? Cały czas się nad tym zastanawiam i chcę coś tu ustalić.

[fawq]

Sposób jest dobry . Tyle, że przed "Co kończy dowód" wartałoby napisać że "Otrzymujemy sprzeczność". Niemniej jednak, jest dobrze.

[Ponewor]

Ogólnie to jeśli liczby \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), oraz współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ W}\) są całkowite, to \(\displaystyle{ a-b \mid W\left(a\right)-W\left(b\right)}\).