Wyznaczanie reszty z dzielenia wielomianu.

[qwerte]

Jak rozwiązać to zadanie bez liczenia tego pół dnia?

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W\left( x\right) = x^{2013} - 2x^{2012} + 2x^{2011} - 1}\) przez \(\displaystyle{ G\left( x\right) = x^{3} - x}\)

[cosinus90]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) można zapisać

\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) \cdot G(x) + R(x)}\) , gdzie reszta jest stopnia co najwyżej drugiego. Zapisz teraz \(\displaystyle{ G(x)}\) w postaci iloczynowej i podstaw jego 3 pierwiastki do tej równości.

[qwerte]

\(\displaystyle{ G\left( x\right) = x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)}\) więc pierwiastki to 0, 1 i -1.

Teraz jak podstawiam to do

\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) \cdot G(x) + R(x)}\) to otrzymuje

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(0) = -1 \\ G(0) = 0 \\ Q(0) = 0 \\ R(0) = -1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1) = 0 \\ G(1) = 0 \\ Q(1) = 0 \\ R(1) = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1) = -6 \\ G(-1) = 0 \\ Q(-1) = 0 \\ R(-1) = -6 \end{cases}}\)

więc resztą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ G(x)}\) równa się -1 lub -6? Dobrze to rozumiem?

[piasek101]

Nie.
\(\displaystyle{ R(x)}\) jest postaci \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) i masz wyznaczyć a,b,c.

[qwerte]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = -1\\ a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c = 0 \\ a \cdot (-1)^{2} + b \cdot (-1) + c = -6\end{cases}}\)

Jak rozwiąże ten układ to będzie \(\displaystyle{ R(x)}\) czy źle to rozumiem?

[piasek101]

Teraz ok.