Suma pierwiastków wielomianu.

[Dreamer1x6xX]

361/ A. Kiełbasa

"Suma wszystkich pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+ax^{2}+x+c}\) jest równa \(\displaystyle{ 6}\). Znajdź współczynniki \(\displaystyle{ a,c}\) wiedząc, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez: \(\displaystyle{ V(x)=x}\)

(1)Dlaczego jeśli jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ V(x)}\), to wyraz wolny \(\displaystyle{ c=0}\) ???

Z resztą już sobie poradzę, ale dlaczego wyraz wolny musi być równy \(\displaystyle{ 0}\), kiedy jest podzielny przez ten wielomian: \(\displaystyle{ V(x)=x}\) ??

[leszczu450]

Dreamer1x6xX, a zapisz sobie co to znaczy, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ V(x)}\). Przyrównaj współczynniki i zobacz co się dzieje.

[Dreamer1x6xX]

Dreamer1x6xX, a zapisz sobie co to znaczy, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ V(x)}\). Przyrównaj współczynniki i zobacz co się dzieje.

Nie mam najmniejszej ochoty na to, wiesz jak już tu piszę to znaczy, że oczekuję rozwiązania zadania przez Was, ewentualnej wskazówki, bo sam już od 10 rana liczyłem cały rozdział wielomianów i już mi się nie chce.

Ale w trakcie zauważyłem, że to jest jednoznaczne z tym, że można \(\displaystyle{ x}\) wyłączyć przed nawias, a żeby to zrobić wyraz wolny musi być równy \(\displaystyle{ 0}\).

Podsumowując:\(\displaystyle{ W(x):V(x)=x \cdot P(x)}\)

[yorgin]

Twierdzenie Bezouta:

Liczba \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-p}\). Innymi słowy, \(\displaystyle{ W(x)=(x-p)\cdot V(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ V(x)}\).

U nas \(\displaystyle{ p=0}\), więc musi być \(\displaystyle{ W(x)=x\cdot V(x)}\), stąd \(\displaystyle{ c=0}\).