361/ A. Kiełbasa
"Suma wszystkich pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+ax^{2}+x+c}\) jest równa \(\displaystyle{ 6}\). Znajdź współczynniki \(\displaystyle{ a,c}\) wiedząc, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez: \(\displaystyle{ V(x)=x}\)
(1)Dlaczego jeśli jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ V(x)}\), to wyraz wolny \(\displaystyle{ c=0}\) ???
Z resztą już sobie poradzę, ale dlaczego wyraz wolny musi być równy \(\displaystyle{ 0}\), kiedy jest podzielny przez ten wielomian: \(\displaystyle{ V(x)=x}\) ??
Suma pierwiastków wielomianu.
-
- Użytkownik
- Posty: 303
- Rejestracja: 17 sty 2014, o 02:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gniezno
- Podziękował: 36 razy
Suma pierwiastków wielomianu.
Ostatnio zmieniony 10 kwie 2014, o 14:27 przez leszczu450, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] . Stosuj Latex-a do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Suma pierwiastków wielomianu.
Dreamer1x6xX, a zapisz sobie co to znaczy, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ V(x)}\). Przyrównaj współczynniki i zobacz co się dzieje.
-
- Użytkownik
- Posty: 303
- Rejestracja: 17 sty 2014, o 02:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gniezno
- Podziękował: 36 razy
Suma pierwiastków wielomianu.
Nie mam najmniejszej ochoty na to, wiesz jak już tu piszę to znaczy, że oczekuję rozwiązania zadania przez Was, ewentualnej wskazówki, bo sam już od 10 rana liczyłem cały rozdział wielomianów i już mi się nie chce.leszczu450 pisze:Dreamer1x6xX, a zapisz sobie co to znaczy, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ V(x)}\). Przyrównaj współczynniki i zobacz co się dzieje.
Ale w trakcie zauważyłem, że to jest jednoznaczne z tym, że można \(\displaystyle{ x}\) wyłączyć przed nawias, a żeby to zrobić wyraz wolny musi być równy \(\displaystyle{ 0}\).
Podsumowując:\(\displaystyle{ W(x):V(x)=x \cdot P(x)}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Suma pierwiastków wielomianu.
Twierdzenie Bezouta:
Liczba \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-p}\). Innymi słowy, \(\displaystyle{ W(x)=(x-p)\cdot V(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ V(x)}\).
U nas \(\displaystyle{ p=0}\), więc musi być \(\displaystyle{ W(x)=x\cdot V(x)}\), stąd \(\displaystyle{ c=0}\).
Liczba \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-p}\). Innymi słowy, \(\displaystyle{ W(x)=(x-p)\cdot V(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ V(x)}\).
U nas \(\displaystyle{ p=0}\), więc musi być \(\displaystyle{ W(x)=x\cdot V(x)}\), stąd \(\displaystyle{ c=0}\).