Niech dany będzie \(\displaystyle{ W(x)=x(1+x)^n}\)
Tworzymy ułamki dzieląc współczynnik wielomianu przez stopień potęgi \(\displaystyle{ x}\), przy którym stoją.
Pokazać, że suma tych ułamków wynosi \(\displaystyle{ \frac{2^{n+1}-1}{n+1}}\)
Suma współczynników
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Suma współczynników
Też miałem kiedyś ten problem
331319.htm
Ewentualnie bez całek można tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} {n \choose k}=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}{n \choose k}=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n}{n+1 \choose k+1}=\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1}{ n+1 \choose k}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1} \ \ \ \square}\)
331319.htm
Ewentualnie bez całek można tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} {n \choose k}=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}{n \choose k}=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n}{n+1 \choose k+1}=\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1}{ n+1 \choose k}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1} \ \ \ \square}\)