dzielnik wielomianu

[metalknight]

Podać przykład wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) możliwie największego stopnia, który jest dzielnikiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3n}-x^{2n+1}-x^{2n}-x^{2n-1}+x^{n+1}+x^n+x^{n-1}-1}\) przy dowolnym wyborze liczby naturalnej \(\displaystyle{ n>0}\).

[mateuszl95]

\(\displaystyle{ -x^{2n+1}+x^{n+1} = -x^{n+1}(x^n-1)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x^{3n}-1) - (x^n-1)(x^{n+1}+x^n+x^{n-1})}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x^n-1)(x^{2n}+x^n+1) - (x^n-1)(x^{n+1}+x^n+x^{n-1})}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x^n-1)(x^{2n}-x^{n+1}-x^{n-1}+1)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x^n-1)(x^{n-1}-1)(x^{n+1}-1)}\)

A dalej moim zdaniem można polemizować z treścią zadania. Więc interpretacje pytania pozostawiam Tobie Bo po pierwsze czy dzielnikiem wielomianu W(x) nie jest sam wielomian W(x), czyli Q(x)=W(x)?
Po drugie można byłoby rozbić 1 czynnik postaci iloczynowej (dla n parzystych) lub 2. i 3. czynnik W(x) postaci iloczynowej (dla n nieparzystych) i wówczas wielomian Q(x) wynikałby również z rozkładu jednego z czynników.
Jednak wydaje mi się, że autorowi tego zadania chodziło o poniższy wielomian Q(x) i to jest 3. opcja:

\(\displaystyle{ Q(x)=(x^{n+1}-1)(x^n-1)=x^{2n+1}-x^{n+1}-x^n+1}\)

Wydaje mi się, że jest to najwyższa możliwa potęga dla wielomianu Q(x) dla dowolnego n bez rozbijania na przypadki.

[metalknight]

Chodzi o to żeby wskazać taki wielomian możliwie największego stopnia, który dzieli każdy z wielomianów \(\displaystyle{ W(x)=x^{3n}-x^{2n+1}-x^{2n}-x^{2n-1}+x^{n+1}+x^n+x^{n-1}-1}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\) naturalnych. Na przykład takim wielomianem jest \(\displaystyle{ x-1}\) gdyż \(\displaystyle{ x-1 \mid W(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\) (jakkolwiek wezmę sobie \(\displaystyle{ n}\), to będzie to prawdą). Inaczej - stopień szukanego wielomianu nie może zależeć od zmiennej, bo jakby zależał, to jak wezmę sobie taką zmienną dostatecznie dużą, to znajdę takie \(\displaystyle{ n}\), że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) byłby stopnia niższego niż potencjalny dzielnik.

[mateuszl95]

\(\displaystyle{ W(x)=(x^{n-1}-1)(x^{n}-1)(x^{n+1}-1)=(x-1)(x^n+x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+1)(x-1)(x^{n-2}+x^{n-3}+x^{n-4}+...+x+1)}\)

Czyli uważam, że \(\displaystyle{ Q(x)=(x-1)^3}\)

Myślę, że to można łatwo już sprawdzić na jakichś przykładach np. dla n=1

[metalknight]

Ale to rozumowanie pokazuje, że \(\displaystyle{ (x-1)^3}\) jest dzielnikiem, a nie że jest dzielnikiem najwyższego możliwego stopnia.