równania wielomianowe z parametrem

[mlecznaczekolada]

w przyszłym tygodniu mam sprawdzian, bardzo proszę o pomoc. podchodziłam do tych zadań parę razy iii nic ;/

Zad 1
Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x ^{4}+(m-2)x ^{2}+m ^{2}-1=0}\) ma dwa różne rozwiązania? ( odp. \(\displaystyle{ m \in (-1,1) \cup \left\{ -1 \frac{1}{4} \right\}}\) )

Zad 2
Dla jakich wartości parametru m równanie\(\displaystyle{ x ^{4}+(m+1)x ^{2}+m ^{2}+6m+9=0}\) ma dwa różne rozwiązania? ( odp. \(\displaystyle{ m \in \left\{ -5, -2 \frac{1}{3} \right\}\)}

tak próbowałam rozwiązać:
Zad 1
\(\displaystyle{ x ^{4}+(m-2)x ^{2}+m ^{2}-1=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}=t, t \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t^{2}+(m-2)t +m ^{2}-1=0}\)
założenia:
1. \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
\(\displaystyle{ m= - 1 \frac{1}{4}}\)
lub
2. \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
\(\displaystyle{ 4(m-2) ^{2} -4(m ^{2}-1) > 0}\)
\(\displaystyle{ m < - 1 \frac{1}{4}}\)
3. \(\displaystyle{ t _{1} \cdot t_{2} < 0}\), żeby ten iloczyn był mniejszy od 0 jedno t musi być dodatnie a drugie ujemne. ale z założeń t ge 0, wychodzi mi że to niemożliwe.. no ale wtedy wychodzi mi odpowiedź nieprawidłowa więc dążąc do wyniku podanego w odpowiedziach rozwiązałam ten 3 warunek
\(\displaystyle{ m ^{2}-1<0}\)
\(\displaystyle{ m \in (-1,1)}\)

Zad 2
\(\displaystyle{ x ^{4}+(m+1)x ^{2}+m ^{2}+6m+0=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = t, t \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t^{2}+(m+1)t +m ^{2}+6m+0=0}\)
1. \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
\(\displaystyle{ (m+1) ^{2} - 4(m ^{2}+6m+9) > 0}\)
\(\displaystyle{ -3m ^{2}-22m-35>0}\)
\(\displaystyle{ m _{1}=-5 m _{2}=-2 \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ m \in (-5,-2 \frac{1}{3})}\)
2. \(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2} < 0}\)
czyli niemożliwe i tu t nalezy do zbioru pustego
( rozwiązałam też jakby\(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2}}\) było możliwe
czyli \(\displaystyle{ \left( (m+3) ^{2} \right)<0}\)
no ale to należy do pustego więc wyszło mi też dobrze bo suma przedziałów z 1 i 2 to zbiór pusty. )

3. \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
\(\displaystyle{ m \in \left\{ -5, -2 \frac{1}{3} \right\}}\)
odp\(\displaystyle{ m \in \left\{ -5, -2 \frac{1}{3} \right\}}\)


i teraz nie wiem ...
mógłby ktoś rzucić okiem i mnie oświecić? :>

[mortan517]

Dwa rozwiązania gdy:
\(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} > 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e < 0 \ \wedge \ f > 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e > 0 \ \wedge \ f < 0}\)


353047.htm

[mlecznaczekolada]

dziękuję, ale nadal tego nie rozumiem - skoro zakładamy że \(\displaystyle{ t \ge 0}\) to jak możemy brać za założenie i je rozwiązać \(\displaystyle{ t _{1} \cdot t_{2} < 0}\)? liczba dodatnia pomnożona przez liczbę dodatnią zawsze będzie dodatnia. może jestem jakaś głupia ale naprawdę nie wiem.

[mortan517]

Chodzi o to że to równanie może mieć maksymalnie \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania. Przy każdym \(\displaystyle{ t}\) mamy maksymalnie \(\displaystyle{ 2}\), bo \(\displaystyle{ t=x^2}\). A my chcemy, żeby było właśnie dwa, więc zakładamy, że \(\displaystyle{ t_{1}>0}\) i z tego będzie \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania, a z \(\displaystyle{ t_{2}<0}\) nie będzie rozwiązań, bo jest sprzeczność. I teraz jeżeli pomnożymy dwie liczby o różnych znakach to ich iloczyn będzie ujemny.