Równanie wielomianowe z parametrem

[MaTTematyk]

Dane jest równanie \(\displaystyle{ (1+x+x ^{2}) ^{2} = \frac{m+1}{m-1}(1+x ^{2} +x ^{4})}\) , gdzie \(\displaystyle{ m}\) - parametr rzeczywisty. Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) równanie ma rozwiązania. Wyznaczyć te rozwiązania.
Pierwszym co zrobiłem to \(\displaystyle{ m \neq 1}\) przemnożyłem przez \(\displaystyle{ m-1}\) po wymnażałem wszystko wyciągnąłem m przed nawias pogrupowałem ze znalazł sie wspólny czynnik po obu stronach \(\displaystyle{ (x ^{2} + x +1)}\) podzieliłem przez to wyrażenie bo zawsze różne od zera i wyszło mi równanie:
\(\displaystyle{ x ^{2} - mx + 1 = 0}\) z delty wyszło mi że \(\displaystyle{ m \in (- \infty ,-2\rangle\cup\langle 2,+ \infty )}\)
i Tutaj nie jestem pewny wyznaczenia tych rozwiązań bo policzyłem sobie po prostu deltę i rozwiązania wyszły \(\displaystyle{ x _{1} = \frac{ \sqrt{m ^{2} - 4 }+m }{2} \vee x _{2} = \frac{ -\sqrt{m ^{2} - 4 }+m }{2}}\)
Trochę specyficzny wynik i wydaję mi się że za łatwo do niego doszedłem Proszę po pomoc

[lukasz1804]

Dla pewności przeliczyłem ponownie:

Rachunki:    

\(\displaystyle{ (m-1)(1+x+x^2)^2=(m+1)(1+x^2+x^4)}\)
\(\displaystyle{ (m-1)(1+x^2+x^4+2x+2x^2+2x^3)=(m+1)(1+x^2+x^4)}\)
\(\displaystyle{ m+3mx^2+mx^4+2mx+2mx^3-1-3x^2-x^4-2x-2x^3=m+mx^2+mx^4+1+x^2+x^4}\)
\(\displaystyle{ 2mx^2+2mx+2mx^3-2-4x^2-2x^4-2x-2x^3=0}\)
\(\displaystyle{ x^4+(1-m)x^3+(2-m)x^2+(1-m)x+1=0}\)
\(\displaystyle{ x^4+x^2+1=(m-1)x(x^2+x+1)}\)
Po wstawieniu do równania z pierwszego wiersza mamy:
\(\displaystyle{ (m-1)(x^2+x+1)^2=(m+1)(m-1)x(x^2+x+1)}\)
\(\displaystyle{ x^2+x+1=mx+x}\)
\(\displaystyle{ x^2-mx+1=0}\)

Wszystko w Twoim rozumowaniu się zgadza, włącznie z wynikiem.

[rtuszyns]

[...] bo zawsze różne od zera [..]

Ściślej to wyrażenie \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) jest zawsze większe od zera dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \RR}\), co nie zmienia tu faktu, że wszystko jest ok

[MaTTematyk]

@rtuszyns taki skrót myślowy
czyli "ROZWIĄZANIA" są dobrze policzone? bo wydaję mi się że za łatwo można było do nich dojść

[rtuszyns]

@rtuszyns taki skrót myślowy
czyli "ROZWIĄZANIA" są dobrze policzone? bo wydaję mi się że za łatwo można było do nich dojść

Dodatkowo nie używałbym indeksów \(\displaystyle{ 1,2}\) przy \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) jak już używasz spójnika \(\displaystyle{ \vee}\).