Wyznacz parametry a i b,dla których równanie ma trzy rozw.

[matematyk1995]

Witam. Mam wyznaczyć dla jakich a i b , równanie \(\displaystyle{ a^4 \cdot x^3 -3a^2 \cdot x+b=0}\) ma dokładnie trzy różne pierwiastki rzeczywiste? Jakiś pomysł? Próbowałem znaleźć jakiś pierwiastek zależny od a i b, ale nic z tego nie wyszło. Wielkie dzięki za pomoc !

[chris_f]

Zauważ, że Twoje równanie jest już w postaci kanonicznej, gdzie oczywiście \(\displaystyle{ a\neq0}\) (bo wtedy nie będzie równania trzeciego stopnia). Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ a^4}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ x^3-\frac{3}{a^2}x+\frac{b}{a^4}=0}\)
czyli mamy po podstawieniu \(\displaystyle{ p=-\frac{3}{a^2}}\) oraz \(\displaystyle{ q=\frac{b}{a^4}}\)
\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\).
A co dalej? Zajrzyj tu: ... czywistych
Znajdziesz tam warunek na to, żeby takie równanie miało trzy rozwiązania rzeczywiste.

[edit] Zauważ też, że nikt Ci nie każe wyznaczać tych pierwiastków (co wiąże się z niemiłym przejściem na liczby zespolone) tylko masz rozstrzygnąć czy one istnieją - a wtedy warunek znacząco się upraszcza.

[edit2 po poście poniżej] No to masz dwa sposoby, jeden algebraiczny, drugi analityczny. Pewnie znajdą się jeszcze inne.

[Marmat]

Zacznę od tego, że w przypadku gdy \(\displaystyle{ a=0 \ i \ b \neq 0}\) równanie nie ma rozwiązań a w przypadku, gdy [/latex] a=0 i b=0 [/latex] zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych.
Oba te przypadki nas nie interesują.
Aby równanie maiało trzy różne pierwiastki rzeczywiste wykres funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=a^4x^3-3a^2x+b}\)
musi trzykrotnie przeciąć os OX (oś odciętych).
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty} f(x)= - \infty \ \lim_{x\to\infty} f(x)= \infty}\)
Liczę pochodną i szukam ekstremów lokalnych:
\(\displaystyle{ f^{'}(x)=3a^4x^2-3a^2}\)
Rozwiązuję równanie:
\(\displaystyle{ 3a^4x^2-3a^2=0}\)
Rozwiązaniami są liczby: \(\displaystyle{ x_1= \frac{-1}{a} , \ x_2= \frac{1}{a}}\)
Funkcja osiąga tam ekstrema lokalne, dla ujemnego maksimum, a dla dodatniego minimum.
liczę:
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{a})=a^4*( \frac{1}{a})^3-3a^2* \frac{1}{a} +b=a-3a+b=-2a+b}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{-1}{a})=a^4*( \frac{-1}{a})^3-3a^2* \frac{-1}{a} +b=-a+3a+b=2a+b}\)
Aby funkcja trzy razy przecinała oś jedno musi być dodatnie a drugie ujemne, czyli:
\(\displaystyle{ f(- \frac{1}{a}) *f( \frac{1}{a} <0}\)
czyli: \(\displaystyle{ (2a+b)(-2a+b)<0}\)
\(\displaystyle{ (b-2a)(b+2a)<0}\)
Traktując b jako niewiadomą otrzymujesz:
\(\displaystyle{ b \in (-2a,2a) \\
\left| b\right|<2a}\)
Krótko mówiąc \(\displaystyle{ a \neq 0 \ i \ \left| b\right|<2a}\)

[matematyk1995]

Dzięki wielkie za pomoc.