Wykaż, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie

[Balusiek]

Wykaż, że funkcja wielomianowa \(\displaystyle{ W(x) = x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2}\) przyjmuje wartości dodatnie dla każdego \(\displaystyle{ x}\) należącego do \(\displaystyle{ \RR}\).

[leszczu450]

\(\displaystyle{ x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2= (x^2+1)(x^2+2x+2)}\)

Jaki z tego wniosek?

[Balusiek]

Dziękuję bardzo !

[Mariusz M]

Tutaj akurat się ładnie pogrupowało ale jak chcesz to możesz to rozłożyć bez grupowania

Rozłożyć możesz albo używając dopełnienia do kwadratu
Przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę
Lewą stronę dopełniasz do kwadratu ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
Prawą stronę po której masz trójmian kwadratowy dopełniasz do kwadratu
używając wyróżnika trójmianu
Wyróżnik trójmianu musi wynosić zero aby trójmian był kwadratem zupełnym
Gdy policzysz wyróżnik od razu to może się okazać że nie jest on zerowy
Wprowadzasz wtedy nową niewiadomą tak aby lewa strona nadal była kwadratem
Przy wprowadzaniu niewiadomej znowu korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia
Wyróżnik uzależni się od wprowadzonej zmiennej i można będzie obliczyć
wartość niewiadomej dla której wyróżnik się zeruje
Gdy obie strony równania będą kwadratami zupełnymi stosujesz wzór skróconego
mnożenia na różnicę kwadratów

Vax przedstawił ten sposób następująco

227371.htm

Wielomian można rozłożyć przyrównując wielomian do iloczynu dwóch trójmianów
o współczynnikach literowych
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)}\)

Po wymnożeniu trójmianów i porównaniu współczynników dostajesz układ rownań
który sprowadza się do równania szóstego stopnia
Równanie szóstego stopnia można sprowadzić do równania trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ y^2}\)
podstawieniem \(\displaystyle{ p=\frac{a_{3}}{2}+y}\)

Tutaj trzeba uważać na przypadki szczególne
Co będzie jak pierwiastki równania szóstego stopnia będą zerowały mianowniki
wyrazów wolnych w tych trójmianach


\(\displaystyle{ x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right) \\
x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs\\
x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=x^4+\left( p+r\right)x^3+\left( q+s+pr\right)x^2+\left( rq+ps\right)x+qs\\
\begin{cases} p+r=2 \\ q+s+pr=3\\rq+ps=2\\qs=2 \end{cases}\\
\begin{cases} r=2-p \\ q+s+p\left( 2-p\right) =3\\\left( 2-p\right) q+ps=2\\qs=2 \end{cases}\\
\begin{cases} r=2-p \\ q+s =3-p\left( 2-p\right)\\\left( 2-p\right) q+ps=2\\qs=2 \end{cases}\\
\det{ \begin{bmatrix} 1&1 \\ 2-p&p \end{bmatrix} }=p-\left( 2-p\right)=2p-2\\
\det{ \begin{bmatrix} 3-2p+p^2&1 \\ 2&p \end{bmatrix} }=3p-2p^2+p^3-2=p^3-2p^2+3p-2\\
\det{ \begin{bmatrix} 1&3-2p+p^2 \\ 2-p&2 \end{bmatrix} }=2-\left( 2-p\right)\left( 3-2p+p^2\right)=p^3-4p^2+7p-4\\
q=\frac{p^3-2p^2+3p-2}{2p-2}\\
s= \frac{p^3-4p^2+7p-4}{2p-2}\\
\left(p^3-2p^2+3p-2 \right)\left(p^3-4p^2+7p-4 \right)-2\left( 2p-2\right)^2=0\\
p^6-6p^5+18*p^4-32p^3+29p^2-10p=0\\
\begin{cases} p=0 \\ r=2\\q=1\\s=2 \end{cases} \\
x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=\left( x^2+1\right)\left( x^2+2x+2\right)}\)

Równanie szóstego stopnia będzie nieco łatwiejsze do rozwiązania jeśli podstawimy \(\displaystyle{ p=1+y}\)


Można było też przedstawić w postaci sumy kwadratów
i pokazać że te kwadraty nie mogą wynosić zero jednocześnie

\(\displaystyle{ \left( x^2+x\right)^2+\left( x+1\right)^2+x^2+1=0}\)