Wykaż, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 12 lut 2014, o 17:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 6 razy
Wykaż, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie
Wykaż, że funkcja wielomianowa \(\displaystyle{ W(x) = x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2}\) przyjmuje wartości dodatnie dla każdego \(\displaystyle{ x}\) należącego do \(\displaystyle{ \RR}\).
Ostatnio zmieniony 9 mar 2014, o 20:10 przez leszczu450, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] . Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Wykaż, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie
\(\displaystyle{ x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2= (x^2+1)(x^2+2x+2)}\)
Jaki z tego wniosek?
Jaki z tego wniosek?
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wykaż, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie
Tutaj akurat się ładnie pogrupowało ale jak chcesz to możesz to rozłożyć bez grupowania
Rozłożyć możesz albo używając dopełnienia do kwadratu
Przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę
Lewą stronę dopełniasz do kwadratu ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
Prawą stronę po której masz trójmian kwadratowy dopełniasz do kwadratu
używając wyróżnika trójmianu
Wyróżnik trójmianu musi wynosić zero aby trójmian był kwadratem zupełnym
Gdy policzysz wyróżnik od razu to może się okazać że nie jest on zerowy
Wprowadzasz wtedy nową niewiadomą tak aby lewa strona nadal była kwadratem
Przy wprowadzaniu niewiadomej znowu korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia
Wyróżnik uzależni się od wprowadzonej zmiennej i można będzie obliczyć
wartość niewiadomej dla której wyróżnik się zeruje
Gdy obie strony równania będą kwadratami zupełnymi stosujesz wzór skróconego
mnożenia na różnicę kwadratów
Vax przedstawił ten sposób następująco
227371.htm
Wielomian można rozłożyć przyrównując wielomian do iloczynu dwóch trójmianów
o współczynnikach literowych
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)}\)
Po wymnożeniu trójmianów i porównaniu współczynników dostajesz układ rownań
który sprowadza się do równania szóstego stopnia
Równanie szóstego stopnia można sprowadzić do równania trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ y^2}\)
podstawieniem \(\displaystyle{ p=\frac{a_{3}}{2}+y}\)
Tutaj trzeba uważać na przypadki szczególne
Co będzie jak pierwiastki równania szóstego stopnia będą zerowały mianowniki
wyrazów wolnych w tych trójmianach
\(\displaystyle{ x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right) \\
x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs\\
x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=x^4+\left( p+r\right)x^3+\left( q+s+pr\right)x^2+\left( rq+ps\right)x+qs\\
\begin{cases} p+r=2 \\ q+s+pr=3\\rq+ps=2\\qs=2 \end{cases}\\
\begin{cases} r=2-p \\ q+s+p\left( 2-p\right) =3\\\left( 2-p\right) q+ps=2\\qs=2 \end{cases}\\
\begin{cases} r=2-p \\ q+s =3-p\left( 2-p\right)\\\left( 2-p\right) q+ps=2\\qs=2 \end{cases}\\
\det{ \begin{bmatrix} 1&1 \\ 2-p&p \end{bmatrix} }=p-\left( 2-p\right)=2p-2\\
\det{ \begin{bmatrix} 3-2p+p^2&1 \\ 2&p \end{bmatrix} }=3p-2p^2+p^3-2=p^3-2p^2+3p-2\\
\det{ \begin{bmatrix} 1&3-2p+p^2 \\ 2-p&2 \end{bmatrix} }=2-\left( 2-p\right)\left( 3-2p+p^2\right)=p^3-4p^2+7p-4\\
q=\frac{p^3-2p^2+3p-2}{2p-2}\\
s= \frac{p^3-4p^2+7p-4}{2p-2}\\
\left(p^3-2p^2+3p-2 \right)\left(p^3-4p^2+7p-4 \right)-2\left( 2p-2\right)^2=0\\
p^6-6p^5+18*p^4-32p^3+29p^2-10p=0\\
\begin{cases} p=0 \\ r=2\\q=1\\s=2 \end{cases} \\
x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=\left( x^2+1\right)\left( x^2+2x+2\right)}\)
Równanie szóstego stopnia będzie nieco łatwiejsze do rozwiązania jeśli podstawimy \(\displaystyle{ p=1+y}\)
Można było też przedstawić w postaci sumy kwadratów
i pokazać że te kwadraty nie mogą wynosić zero jednocześnie
\(\displaystyle{ \left( x^2+x\right)^2+\left( x+1\right)^2+x^2+1=0}\)
Rozłożyć możesz albo używając dopełnienia do kwadratu
Przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę
Lewą stronę dopełniasz do kwadratu ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
Prawą stronę po której masz trójmian kwadratowy dopełniasz do kwadratu
używając wyróżnika trójmianu
Wyróżnik trójmianu musi wynosić zero aby trójmian był kwadratem zupełnym
Gdy policzysz wyróżnik od razu to może się okazać że nie jest on zerowy
Wprowadzasz wtedy nową niewiadomą tak aby lewa strona nadal była kwadratem
Przy wprowadzaniu niewiadomej znowu korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia
Wyróżnik uzależni się od wprowadzonej zmiennej i można będzie obliczyć
wartość niewiadomej dla której wyróżnik się zeruje
Gdy obie strony równania będą kwadratami zupełnymi stosujesz wzór skróconego
mnożenia na różnicę kwadratów
Vax przedstawił ten sposób następująco
227371.htm
Wielomian można rozłożyć przyrównując wielomian do iloczynu dwóch trójmianów
o współczynnikach literowych
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)}\)
Po wymnożeniu trójmianów i porównaniu współczynników dostajesz układ rownań
który sprowadza się do równania szóstego stopnia
Równanie szóstego stopnia można sprowadzić do równania trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ y^2}\)
podstawieniem \(\displaystyle{ p=\frac{a_{3}}{2}+y}\)
Tutaj trzeba uważać na przypadki szczególne
Co będzie jak pierwiastki równania szóstego stopnia będą zerowały mianowniki
wyrazów wolnych w tych trójmianach
\(\displaystyle{ x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right) \\
x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs\\
x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=x^4+\left( p+r\right)x^3+\left( q+s+pr\right)x^2+\left( rq+ps\right)x+qs\\
\begin{cases} p+r=2 \\ q+s+pr=3\\rq+ps=2\\qs=2 \end{cases}\\
\begin{cases} r=2-p \\ q+s+p\left( 2-p\right) =3\\\left( 2-p\right) q+ps=2\\qs=2 \end{cases}\\
\begin{cases} r=2-p \\ q+s =3-p\left( 2-p\right)\\\left( 2-p\right) q+ps=2\\qs=2 \end{cases}\\
\det{ \begin{bmatrix} 1&1 \\ 2-p&p \end{bmatrix} }=p-\left( 2-p\right)=2p-2\\
\det{ \begin{bmatrix} 3-2p+p^2&1 \\ 2&p \end{bmatrix} }=3p-2p^2+p^3-2=p^3-2p^2+3p-2\\
\det{ \begin{bmatrix} 1&3-2p+p^2 \\ 2-p&2 \end{bmatrix} }=2-\left( 2-p\right)\left( 3-2p+p^2\right)=p^3-4p^2+7p-4\\
q=\frac{p^3-2p^2+3p-2}{2p-2}\\
s= \frac{p^3-4p^2+7p-4}{2p-2}\\
\left(p^3-2p^2+3p-2 \right)\left(p^3-4p^2+7p-4 \right)-2\left( 2p-2\right)^2=0\\
p^6-6p^5+18*p^4-32p^3+29p^2-10p=0\\
\begin{cases} p=0 \\ r=2\\q=1\\s=2 \end{cases} \\
x^{4}+ 2x^{3}+ 3x^{2}+2x+2=\left( x^2+1\right)\left( x^2+2x+2\right)}\)
Równanie szóstego stopnia będzie nieco łatwiejsze do rozwiązania jeśli podstawimy \(\displaystyle{ p=1+y}\)
Można było też przedstawić w postaci sumy kwadratów
i pokazać że te kwadraty nie mogą wynosić zero jednocześnie
\(\displaystyle{ \left( x^2+x\right)^2+\left( x+1\right)^2+x^2+1=0}\)