Funkcje wielomianowe

[problem_matematyczny]

Heej, mam drobny problem z następującym zadaniem:

Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku 1 przy najwyższej potędze. Pierwiastki tego wielomianu tworzą rosnący ciąg arytmetyczny i wiadomo, że dwa z nich są liczbami przeciwnymi. Suma pierwiastków wielomianu jest równa 12.
a) Wyznacz wzór tegfo wielomianu
b) Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ W(x-3) \le 0}\)

ogólnie to wypisałam, że \(\displaystyle{ W(x) = x ^{3}+ax ^{2} +bx +c}\)
\(\displaystyle{ x _{1}, x _{2}, x _{3}}\) - c.aryt
\(\displaystyle{ x _{1}+ x _{2}+ x _{3} = 12}\)
\(\displaystyle{ a _{1}= x _{1}, a_{2}=x_{1} +r, a_{3}= x_{1} +2r}\)
\(\displaystyle{ 3x _{1}+3r = 12}\)
\(\displaystyle{ x _{1} +r = 4 \rightarrow a_{2}}\) czyli \(\displaystyle{ a_{1} = -a_{3}}\)
i nie wiem co dalej ;/

[Kaf]

Źle zinterpretowałeś polecenie: chodzi o to, że dwa spośród pierwiastków są liczbami przeciwnymi. Zobacz: to do czego doszedłeś (\(\displaystyle{ a_{1}=-a_{3}}\))(zakładając twoją interpretację) jest prawdą, więc \(\displaystyle{ x _{1}=-x _{1}-2r}\) przez co \(\displaystyle{ x _{1}+r=0}\), więc \(\displaystyle{ 4=0}\).



Dwusetny post

[problem_matematyczny]

a więc jak to należy zrobić ?

[Kaf]

Zauważ, że jeden z pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ 12}\) i że musi to być \(\displaystyle{ x _{3}}\).

[problem_matematyczny]

a dlaczego \(\displaystyle{ x_{3}}\) ?

[Kaf]

Przepraszam. Dobrze przeczytałeś (przecież pierwiastki i wyrazy ciągu to to samo). Po prostu to \(\displaystyle{ a _{1}=-a _{2}}\)

[problem_matematyczny]

ale i tak nie wiem to z tym dalej zrobić

[Kaf]

Z tego, że \(\displaystyle{ x _{3}=12}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x _{1}=12-2r}\) i \(\displaystyle{ x _{2}=12-r}\). Wiemy też, że \(\displaystyle{ x _{1}=-x _{2}}\), więc \(\displaystyle{ 12-2r=-12+r}\) więc \(\displaystyle{ r=8}\), zatem \(\displaystyle{ x _{2}=4}\) i \(\displaystyle{ x _{1}=-4}\).

[problem_matematyczny]

tylko mi chodzi o to dlaczego akurat \(\displaystyle{ a_{1}}\) z \(\displaystyle{ a_{2}}\) muszą się zerować ?

[Kaf]

\(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ a _{3}}\) prowadzą do sprzeczności (patrz wyżej).
\(\displaystyle{ a_{2}}\) i \(\displaystyle{ a_{3}}\) nie mogą być, ponieważ wtedy \(\displaystyle{ a_{1}=12}\) a ten ciąg jest rosnący, więc \(\displaystyle{ a_{2}}\) i \(\displaystyle{ a_{3}}\) są dodatnie, a liczby dodatnie nie mogą być do siebie przeciwne.

[problem_matematyczny]

aaa rozumiem, dziękuję

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{1}+r+x_{1}+2r=12\\
3x_{1}+3r=12\\
x_{1}+r=4\\
x_{2}=4\\}\)

Aby ciąg był rosnący i dwa wyrazy były przeciwne
\(\displaystyle{ x_{1}=-4}\)

Wstawiając do sumy otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_{3}=12}\)

\(\displaystyle{ W\left( x\right)=\left( x^2-16\right)\left( x-12\right)\\
W\left( x\right)=x^3-12x^2-16x+192}\)