Wykluczenie pierwiastków wielomianu.

[Kuba5093]

1. Współczynniki wielomiany \(\displaystyle{ w(x) = x^{5} + a_{4}x^{4} + ... + a_{1}x + a_{0}}\) są liczbami całkowitymi. Które z liczb \(\displaystyle{ -3, 0, 1, 2, 5}\) nie mogą być pierwiastkami wielomianu w, jeżeli :
\(\displaystyle{ a_{0} = 4}\) ?

2. Współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = a_{5}x^{5} + a_{4}x^{4} + ... + a_{1}x + a_{0}}\) są liczbami całkowitymi. Które z tych liczb \(\displaystyle{ \frac{1}{3}, -\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}, \frac{4}{3}}\) nie mogą być pierwiastkami wielomianu w, jeżeli :
\(\displaystyle{ a_{0} = 4 , a_{5} = 6}\) ?

3. Rozwiąż równanie :
\(\displaystyle{ 3x^{3} - 2x^{2} + 2x + 1 = 0}\)

[Kaf]

W 1. i 2. twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu użyj.
W czym tkwi problem w 3.?

[Mariusz M]

3.
Podstawienie które zawsze działa dla równania trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ x=u+v-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
czyli u ciebie \(\displaystyle{ x=u+v+\frac{2}{9}}\)
Jeżeli równanie kwadratowe które po podstawieniu powstanie
będzie miało pierwiastki zespolone to możesz skorzystać z trygonometrii
(Dla równania czwartego stopnia działa podobne podstawienie
\(\displaystyle{ x=u+v+w-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\))

W czym tkwi problem w 3.

Może w zgadywaniu ?
Przy odpowiednio dobranych współczynnikach dzielników może być dużo
poza tym poszukiwanie wśród dzielników nie daje pewności że ten pierwiastek znajdziemy