Wielomian 4 stopnia z parametrem a

[klex535]

Proszę o pomoc:
Wielomian zdefiniowany wzorem,\(\displaystyle{ W(x)= x^{4} + x^{3} + a x^{2} -3x +36}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) oznacza parametr, dzieli się bez reszty przez dwumian \(\displaystyle{ x- \sqrt{3}}\) .Wyznaczyć przedziały, w których wielomian ten przyjmuje wartości ujemne.

Obliczyłem ,że \(\displaystyle{ a=-15}\)
Następnie podzieliłem ten wielomian przez \(\displaystyle{ x- \sqrt{3}}\) i wyszło że:
\(\displaystyle{ W(x)=(x- \sqrt{3})( x^{3}+( \sqrt{3} +1) x^{2} +(-12+ \sqrt{3})x -12 \sqrt{3})}\)

I dalej nie wiem jak policzyć następne pierwiastki tego wielomianu, jeżeli ma jakieś.

[Gadziu]

No poszukaj sobie innych miejsc zerowych tego wielomianu 4 stopnia. Skorzystaj z twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu. Podpowiedź, jeden z nich to 3.

[klex535]

A no dzięki za bardzo skupiłem się na tym podzielonym przez pierwiastek z 3:
Wyszło mi ,że:
\(\displaystyle{ W(x)=(x- \sqrt{3})(x ^{3} +4x ^{2}-3x-12)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x- \sqrt{3})(x+4)(x ^{2}-3)}\)
Z tego wychodzi że:
\(\displaystyle{ x= \sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ x=-4}\) lub \(\displaystyle{ x=- \sqrt{3}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ x= \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem dwukrotnym.
Rysuje wykres i wychodzi że:
\(\displaystyle{ x \in (-4;- \sqrt{3})}\)
Proszę o sprawdzenie całego

[waliant]

To jeszcze nie jest cały przedział, gdzie ta funkcja leży poniżej osi \(\displaystyle{ OX}\).

[klex535]

No wykres rysuję od góry odbija się od \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) do góry rysuję do \(\displaystyle{ - \sqrt{3}}\) przechodzi przez OX i zawraca do \(\displaystyle{ -4}\) i reszta jest ponad OX. Czy jak to ma być?

[waliant]

\(\displaystyle{ W(x)=(x- \sqrt{3})(x ^{3} +4x ^{2}-3x-12)}\)

Tu jest źle pierwszy nawias, co powinno być?

[klex535]

A no tak dzięki wielkie:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x ^{3}+4x ^{2} -3x-12)}\)
i dalej:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x+4)(x ^{2}-3)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x=3}\) lub \(\displaystyle{ x=-4}\) lub \(\displaystyle{ x= \sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ x=- \sqrt{3}}\)

Czyli w końcu odpowiedź:
\(\displaystyle{ x \in (-4;- \sqrt{3}) \cup ( \sqrt{3} ;3)}\)
Poprawnie?

[waliant]

Poprawnie.