Wielomian z parametrem

CloudyNight96 · Post autor: **CloudyNight96** » 19 lut 2014, o 22:41

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{7}-3mx ^{4}+(2m ^{2}-4)x}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Wyznacz wartość parametru m, dla którego suma sześcianów pierwiastków wielomianu W jest równa 6.
Ogólnie nie mam pomysłu jak zadanie zacząć, ten siódmy stopień wielomianu całkiem zabija moją normalną metodę na takie zadania czyli \(\displaystyle{ W(x)=(x-x _{1} )(x-x _{2} )(x-x _{3} )Q(x)}\) Mógłby ktoś pomóc?

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 19 lut 2014, o 23:14

Którego stopnia jest \(\displaystyle{ Q(x)}\)?
Zauważ, też, że \(\displaystyle{ Q(x)}\) nie ma pierwiastków.

chris_f · Post autor: **chris_f** » 19 lut 2014, o 23:16

Jednym z tych pierwiastków jest na pewno \(\displaystyle{ x=0}\). Zakładamy zatem, że \(\displaystyle{ x\neq0}\), dzielimy przez \(\displaystyle{ x}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ x^6-3mx^3+(2m^2-4)=0}\).
Tu po podstawieniu \(\displaystyle{ x^3=t}\) mamy
\(\displaystyle{ t^2-3mt+(2m^2-4)=0}\).
I to równanie musi mieć dwa rozwiązania różne od zera (żeby w sumie było trzy).
Tu już standardowo, delta większa od zera, itd.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 19 lut 2014, o 23:20

Chris, jesteś wielki... Wpadłem na podobny pomysł, ale utknąłem na pisemnym dzieleniu wielomianów. Nic dziwnego - ostatni raz dzieliłem pisemnie wielomiany jakieś 40 lat remu...

CloudyNight96 · Post autor: **CloudyNight96** » 20 lut 2014, o 16:00

Wielkie dzięki nie wpadłem na tą pomocniczą niewiadomą

chris_f · Post autor: **chris_f** » 20 lut 2014, o 19:51

A tak już przy okazji, suma sześcianów pierwiastków ma byś równa sześć.
Suma sześcianów to \(\displaystyle{ x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1^3+x_2^3=t_1+t_2}\)
(bo \(\displaystyle{ x_3=0}\)), a \(\displaystyle{ t_1,t_2}\), to pierwiastki tego równania kwadratowego. A ich sumę łatwo policzyć ze wzorów Viete'a.