Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{7}-3mx ^{4}+(2m ^{2}-4)x}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Wyznacz wartość parametru m, dla którego suma sześcianów pierwiastków wielomianu W jest równa 6.
Ogólnie nie mam pomysłu jak zadanie zacząć, ten siódmy stopień wielomianu całkiem zabija moją normalną metodę na takie zadania czyli \(\displaystyle{ W(x)=(x-x _{1} )(x-x _{2} )(x-x _{3} )Q(x)}\) Mógłby ktoś pomóc?
Wielomian z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 1 gru 2013, o 16:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Wielomian z parametrem
Którego stopnia jest \(\displaystyle{ Q(x)}\)?
Zauważ, też, że \(\displaystyle{ Q(x)}\) nie ma pierwiastków.
Zauważ, też, że \(\displaystyle{ Q(x)}\) nie ma pierwiastków.
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Wielomian z parametrem
Jednym z tych pierwiastków jest na pewno \(\displaystyle{ x=0}\). Zakładamy zatem, że \(\displaystyle{ x\neq0}\), dzielimy przez \(\displaystyle{ x}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ x^6-3mx^3+(2m^2-4)=0}\).
Tu po podstawieniu \(\displaystyle{ x^3=t}\) mamy
\(\displaystyle{ t^2-3mt+(2m^2-4)=0}\).
I to równanie musi mieć dwa rozwiązania różne od zera (żeby w sumie było trzy).
Tu już standardowo, delta większa od zera, itd.
\(\displaystyle{ x^6-3mx^3+(2m^2-4)=0}\).
Tu po podstawieniu \(\displaystyle{ x^3=t}\) mamy
\(\displaystyle{ t^2-3mt+(2m^2-4)=0}\).
I to równanie musi mieć dwa rozwiązania różne od zera (żeby w sumie było trzy).
Tu już standardowo, delta większa od zera, itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Wielomian z parametrem
Chris, jesteś wielki... Wpadłem na podobny pomysł, ale utknąłem na pisemnym dzieleniu wielomianów. Nic dziwnego - ostatni raz dzieliłem pisemnie wielomiany jakieś 40 lat remu...
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 1 gru 2013, o 16:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Wielomian z parametrem
A tak już przy okazji, suma sześcianów pierwiastków ma byś równa sześć.
Suma sześcianów to \(\displaystyle{ x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1^3+x_2^3=t_1+t_2}\)
(bo \(\displaystyle{ x_3=0}\)), a \(\displaystyle{ t_1,t_2}\), to pierwiastki tego równania kwadratowego. A ich sumę łatwo policzyć ze wzorów Viete'a.
Suma sześcianów to \(\displaystyle{ x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1^3+x_2^3=t_1+t_2}\)
(bo \(\displaystyle{ x_3=0}\)), a \(\displaystyle{ t_1,t_2}\), to pierwiastki tego równania kwadratowego. A ich sumę łatwo policzyć ze wzorów Viete'a.