Udowodnić rozwiązanie wielomianu w przedziale [2,3]

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
marcin10m
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 27 maja 2013, o 15:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Udowodnić rozwiązanie wielomianu w przedziale [2,3]

Post autor: marcin10m »

Potrzebuję pomocy przy następującym zadaniu:
Udowodnić, że \(\displaystyle{ x^{3}-2x-5= 0}\) posiada dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale [2;3]
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Udowodnić rozwiązanie wielomianu w przedziale [2,3]

Post autor: kropka+ »

Zbadaj monotoniczność funkcji w tym przedziale. Jak będzie w nim rosnąca lub malejąca, to wystarczy policzyć wartości dla 2 i 3. Gdy będą przeciwnych znaków, to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Udowodnić rozwiązanie wielomianu w przedziale [2,3]

Post autor: Adifek »

\(\displaystyle{ W(x) =x^{3}-2x-5 \\ \\
W(2) = 8 -4 -5 =-1 \\
W(3) = 27-6-5 =16}\)


Niech \(\displaystyle{ 2\le x <y \le 3}\). Mamy wówczas:

\(\displaystyle{ W(y)-W(x) = y^{3}-2y-5 - (x^{3}-2x-5) = (y^3 -x^3) -2(y-x) = \\ = (y-x)(y^2 +xy +x^2) -2(y-x) = (y-x)(y^2+x^2+xy -2) \ge 6(y-x) > 0}\)

Zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) jest ściśle rosnący na \(\displaystyle{ [2,3]}\), więc ponieważ na końcach przedziałów ma różne znaki, musi mieć dokładnie jeden pierwiastek.
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

Udowodnić rozwiązanie wielomianu w przedziale [2,3]

Post autor: rtuszyns »

Oczywiście dokładnie jedno rozwiązanie w tym przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 2;3\right\rangle}\)
ODPOWIEDZ