Potrzebuję pomocy przy następującym zadaniu:
Udowodnić, że \(\displaystyle{ x^{3}-2x-5= 0}\) posiada dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale [2;3]
Udowodnić rozwiązanie wielomianu w przedziale [2,3]
- kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Udowodnić rozwiązanie wielomianu w przedziale [2,3]
Zbadaj monotoniczność funkcji w tym przedziale. Jak będzie w nim rosnąca lub malejąca, to wystarczy policzyć wartości dla 2 i 3. Gdy będą przeciwnych znaków, to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Udowodnić rozwiązanie wielomianu w przedziale [2,3]
\(\displaystyle{ W(x) =x^{3}-2x-5 \\ \\
W(2) = 8 -4 -5 =-1 \\
W(3) = 27-6-5 =16}\)
Niech \(\displaystyle{ 2\le x <y \le 3}\). Mamy wówczas:
\(\displaystyle{ W(y)-W(x) = y^{3}-2y-5 - (x^{3}-2x-5) = (y^3 -x^3) -2(y-x) = \\ = (y-x)(y^2 +xy +x^2) -2(y-x) = (y-x)(y^2+x^2+xy -2) \ge 6(y-x) > 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) jest ściśle rosnący na \(\displaystyle{ [2,3]}\), więc ponieważ na końcach przedziałów ma różne znaki, musi mieć dokładnie jeden pierwiastek.
W(2) = 8 -4 -5 =-1 \\
W(3) = 27-6-5 =16}\)
Niech \(\displaystyle{ 2\le x <y \le 3}\). Mamy wówczas:
\(\displaystyle{ W(y)-W(x) = y^{3}-2y-5 - (x^{3}-2x-5) = (y^3 -x^3) -2(y-x) = \\ = (y-x)(y^2 +xy +x^2) -2(y-x) = (y-x)(y^2+x^2+xy -2) \ge 6(y-x) > 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) jest ściśle rosnący na \(\displaystyle{ [2,3]}\), więc ponieważ na końcach przedziałów ma różne znaki, musi mieć dokładnie jeden pierwiastek.
- rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2042
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
Udowodnić rozwiązanie wielomianu w przedziale [2,3]
Oczywiście dokładnie jedno rozwiązanie w tym przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 2;3\right\rangle}\)