Wykaż że liczba niewymierna jest rozwiązaniem

[serafina]

rozwiązanie to \(\displaystyle{ 3-\sqrt{3+ \sqrt{3} }}\)
równanie to\(\displaystyle{ x^{4}-12x^{3}+48x^{2}-72x+33=0}\)

[matematyk1995]

Może podstawić?

[serafina]

postawiałem, ale to nie o to chodzi.. trzeba sprowadzic do postaci iloczynowej (tak mi sie wydaje), jeżeli pisze WYKAŻ

[matematyk1995]

A sprawdzałeś czy są jakieś całkowite rozwiązania?

[serafina]

Tak, np jedynka daje resztę -2,

[matematyk1995]

Jednak nie ma pierwiastków wymiernych.

Ja bym to zrobił tak:
T: \(\displaystyle{ x=3-\sqrt{3+ \sqrt{3} }}\) jest rozwiązaniem równania: \(\displaystyle{ x^{4}-12x^{3}+48x^{2}-72x+33=0}\)

D: \(\displaystyle{ L=x^{4}-12x^{3}+48x^{2}-72x+33=...}\)

Podstawiłbym \(\displaystyle{ x=3-\sqrt{3+ \sqrt{3} }}\) i wyszło by mi, że \(\displaystyle{ L=0=P}\) cnd.

Jest to naciągany sposób.

[yorgin]

Jeżeli mamy wykazać, że \(\displaystyle{ u=3-\sqrt{3-\sqrt{3}}}\) spełnia wymienione równanie, to wydaje się, że najprościej jest podstawić i przeliczyć.

Ja proponuję takie podejście:

\(\displaystyle{ u=3-\sqrt{3-\sqrt{3}}\\ \\
\sqrt{3-\sqrt{3}}=3-u \qquad |()^2\\ \\
-\sqrt{3}=6-6u+u^2}\)

Dalej znów do kwadratu, redukcja i viola. \(\displaystyle{ u}\) spełnia równanie wymienione w treści.

[Mariusz M]

postawiałem, ale to nie o to chodzi.. trzeba sprowadzic do postaci iloczynowej (tak mi sie wydaje), jeżeli pisze WYKAŻ

\(\displaystyle{ x^{4}-12x^{3}+48x^{2}-72x+33=0}\)

Sprowadzenie równania czwartego stopnia do postaci iloczynowej
na ogół wymaga rozwiązania równania trzeciego stopnia

Przejrzyj tematy na forum

https://www.matematyka.pl/243327.htm
https://www.matematyka.pl/275801.htm
http://www.matematyka.pl/227371.htm
http://www.matematyka.pl/316940.htm#p5013480

Równanie trzeciego stopnia możemy rozwiązać w ten sposób

1.

Równanie trzeciego stopnia \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)
sprowadzamy do postaci \(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
podstawiając \(\displaystyle{ y=x- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
albo rozwijając wielomian trzeciego stopnia względem dwumianu \(\displaystyle{ \left( x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)}\)
(można tego dokonać używając schematu Hornera)

2.

W równaniu trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ y=u+v}\)

\(\displaystyle{ y^3+py+q=0\\
y=u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p\left( u+v\right)+q=0\\
u^3+v^3+q+3\left( u+v\right)\left( uv+\frac{p}{3}\right)\\
\begin{cases} u^3+v^3+q=0 \\ uv+\frac{p}{3}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=-\frac{p}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=-\frac{p^3}{27} \end{cases}\\}\)

Zauważmy że ten układ równań to wzory Viete'a trójmianu kwadratowego
o pierwiastkach \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)

Równanie kwadratowe wygląda tak

\(\displaystyle{ t^2+qt- \frac{p^3}{27}=0}\)

3.

Jeżeli znamy \(\displaystyle{ u}\) oraz \(\displaystyle{ v}\) spełniające układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=-\frac{p}{3} \end{cases}\\}\)
to pozostałe pary \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\) znajdziemy używając
pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki

Niech \(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}=-1 \\ \varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1 \end{cases}}\)

Spójrzmy na układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=-\frac{p}{3} \end{cases}\\}\)

Jeżeli para \(\displaystyle{ \left( u_{1},v_{1}\right)}\) spełnia powyższy układ równań to
pary \(\displaystyle{ \left( \varepsilon_{1}u_{1},\varepsilon_{2}v_{1}\right)}\)
oraz \(\displaystyle{ \left(\varepsilon_{2}u_{1},\varepsilon_{1}v_{1} \right)}\)
także będą spełniały ten układ

W tym przypadku sprowadzenie do postaci iloczynowej nie wymaga
rozwiązywania równania trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ x^{4}-12x^{3}+48x^{2}-72x+33=0\\
\left(x^{4}-12x^{3} \right)-\left( -48x^{2}+72x-33\right)=0\\
\left(x^{4}-12x^{3}+36x^{2} \right)-\left( -12x^{2}+72x-33\right)=0\\
\left( x^{2}-6x\right)^{2}-\left( -12x^{2}+72x-33\right)=0\\
\left(x^{2}-6x+\frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y-12\right)x^{2}+\left( -6y+72\right)x+\frac{y^2}{4}-33 \right)\\
y=12\\
\left( x^{2}-6x+6\right)^{2}-3=0\\
\left( x^{2}-6x+6- \sqrt{3} \right)\left( x^{2}-6x+6+ \sqrt{3} \right)=0\\
\cdots}\)