Mam problem z zadaniem
zad.
Wykazać że jezeli dowolne cztery kolejne liczby nieparzyste są pierwiastkami wielomianu o współczynnikach całkowitych, to ten wielomian dla każdej liczy nieparzystej przyjmuje warości podzielne przez liczbę \(\displaystyle{ 3*2^7}\).
wkazac ze wielomian jest podzielny
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
kolanko
- Użytkownik
- Posty: 1905
- Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łańcut
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 172 razy
wkazac ze wielomian jest podzielny
Wielomian ten mozna zapisac jako :
\(\displaystyle{ [x-(2n+1)][x-(2n+3)][x-(2n+5)][x-(2n+7)]}\)
Popatrz ze dla argumentow nieparzystych ... nieparzysty - nieparzysty = parzysty ... dalej pomysl co jeszcze sie dzieje ..
\(\displaystyle{ [x-(2n+1)][x-(2n+3)][x-(2n+5)][x-(2n+7)]}\)
Popatrz ze dla argumentow nieparzystych ... nieparzysty - nieparzysty = parzysty ... dalej pomysl co jeszcze sie dzieje ..
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
wkazac ze wielomian jest podzielny
Pozwolę sobie przedstawić pełne rozwiązanie
Załóżmy, że nasz wielomian jest postaci:
\(\displaystyle{ W(x) = (x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})(x - x_{4})P(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) jest dowolnym ustalonym wielomianem o współczynnikach całkowitych, a liczby \(\displaystyle{ x_{i}}\) są czterema kolejnymi liczbami nieparzystymi.
Zauważmy, że każda z liczb \(\displaystyle{ x_{i}}\) daje inną, nieparzystą resztę przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 8}\), po dwie z nich dają takie same nieparzyste reszty przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\), a każda z nich resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\). Poza tym trzy z nich dają różne reszty przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\).
Teraz obieramy dowolną liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ x}\). Ponieważ istnieją tylko cztery różne nieparzyste reszty możliwe do uzyskania z dzielenia liczby całkowitej przez \(\displaystyle{ 8}\), to, na mocy tego co ustaliliśmy powyżej, jeden z czterech czynników:
\(\displaystyle{ x - x_{i}, \, i = 1, 2, 3, 4}\)
będzie podzielny przez \(\displaystyle{ 8 = 2^{3}}\).
Analogicznie, poza tym czynnikiem, będzie jeden podzielny przez \(\displaystyle{ 4 = 2^{2}}\) i pozostaną jeszcze dwa podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\). Oprócz tego, co najmniej jeden z czynników jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\).
W związku z powyższym, wartość wielomianu dla dowolnego ustalonego nieparzystego \(\displaystyle{ x}\) możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ W(x) =3\cdot 2^{3}p 2^{2}q\cdot 2r 2s P(x) =3\cdot 2^{7}\cdot p\cdot q\cdot r\cdot s\cdot P(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ p,q,r,s \mathbb{Z}}\)
Załóżmy, że nasz wielomian jest postaci:
\(\displaystyle{ W(x) = (x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})(x - x_{4})P(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) jest dowolnym ustalonym wielomianem o współczynnikach całkowitych, a liczby \(\displaystyle{ x_{i}}\) są czterema kolejnymi liczbami nieparzystymi.
Zauważmy, że każda z liczb \(\displaystyle{ x_{i}}\) daje inną, nieparzystą resztę przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 8}\), po dwie z nich dają takie same nieparzyste reszty przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\), a każda z nich resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\). Poza tym trzy z nich dają różne reszty przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\).
Teraz obieramy dowolną liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ x}\). Ponieważ istnieją tylko cztery różne nieparzyste reszty możliwe do uzyskania z dzielenia liczby całkowitej przez \(\displaystyle{ 8}\), to, na mocy tego co ustaliliśmy powyżej, jeden z czterech czynników:
\(\displaystyle{ x - x_{i}, \, i = 1, 2, 3, 4}\)
będzie podzielny przez \(\displaystyle{ 8 = 2^{3}}\).
Analogicznie, poza tym czynnikiem, będzie jeden podzielny przez \(\displaystyle{ 4 = 2^{2}}\) i pozostaną jeszcze dwa podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\). Oprócz tego, co najmniej jeden z czynników jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\).
W związku z powyższym, wartość wielomianu dla dowolnego ustalonego nieparzystego \(\displaystyle{ x}\) możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ W(x) =3\cdot 2^{3}p 2^{2}q\cdot 2r 2s P(x) =3\cdot 2^{7}\cdot p\cdot q\cdot r\cdot s\cdot P(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ p,q,r,s \mathbb{Z}}\)