Dla jakich wartosci parametru m...
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 24 kwie 2007, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stad
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Dla jakich wartosci parametru m...
Dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ m}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+10x+m}\) ma pierwiastek trzykrotny
Probowalem hornerem ale predzej mi....niz to zrobie w ten sposob ??:
Probowalem hornerem ale predzej mi....niz to zrobie w ten sposob ??:
-
- Użytkownik
- Posty: 993
- Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5 razy
Dla jakich wartosci parametru m...
pomylka w definicji i liczeniu musze przyswoic sobie czytanie definicji do konca...
//// poprawione
liczysz pierwsza i druga pochodna:
\(\displaystyle{ w'(x)=8x^{3}-6x^{2}-12x+10\\
w''(x)=24x^{2}-12x-12}\) wspolny pierwiastek jak widac jest 1 tak wiec tylko on moze byc pierwiastkiem potrojny rowniania w(x) wiec wstawiamy za x=1 i obliczamy m wychodzi m=-4
//// poprawione
liczysz pierwsza i druga pochodna:
\(\displaystyle{ w'(x)=8x^{3}-6x^{2}-12x+10\\
w''(x)=24x^{2}-12x-12}\) wspolny pierwiastek jak widac jest 1 tak wiec tylko on moze byc pierwiastkiem potrojny rowniania w(x) wiec wstawiamy za x=1 i obliczamy m wychodzi m=-4
Ostatnio zmieniony 7 maja 2007, o 15:34 przez greey10, łącznie zmieniany 2 razy.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11404
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Dla jakich wartosci parametru m...
\(\displaystyle{ W(x)=2x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+10x+m = 2(x-a)^3 (x-b)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3393
- Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 466 razy
- Pomógł: 197 razy
Dla jakich wartosci parametru m...
Wielomian jest stopnia 4 i ma trzykrotny pierwiastek, więc musi mieć jeszcze jeden pierwiastek jednokrotny i można wielomian zapisać następująco: \(\displaystyle{ W(x)=2 (x-x_1)^3 (x-x_2)}\)
Teraz wymnóż tą postać i porównaj współczynniki przy odpowiednich składnikach.
[ Dodano: 7 Maj 2007, 14:54 ]
O nawet całe rozwiązanie znalazłem.
Treść zadania:
Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x)=2x4-2x3-6x2+10x+m ma pierwiastek trzykrotny?
Rozwiązanie:
1. Jeśli wielomian ma pierwiastek trzykrotny, to można zapisać go w postaci iloczynowej w następujacy sposób:
W(x)=2(x-p1)3(x-p2)
gdzie p1 – pierwiastek trzykrotny, p2 – drugi pierwiastek jednokrotny. Należy założyć, że p1≠p2, gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy pierwiastek czterokrotny.
2. Rozwijamy otrzymaną postać iloczynową do postaci sumy jednomianów redukując wyrazy podobne:
W(x) = 2(x – p1)3(x – p2) = 2(x3 – 3x2p1 + 3xp12 – p13)(x – p2) =
= 2(x4 – 3x3p1 + 3x2p12 – xp13 – x3p2 + 3x2p1p2 – 3xp12p2 + p13p2) =
= 2[x4 – (3p1 + p2)x3 + 3(p12 + p1p2)x2 – (p13 + 3 p12p2)x + p13p2] =
= 2x4 – 2(3p1 + p2)x3 + 6(p12 + p1p2)x2 – 2(p13 + 3 p12p2)x + 2p13p2
3. Przyrównując otrzymaną postać z postacią wielomianu podaną w treści zadania dostajemy:
(1) - 2(3p1 + p2) = -2
(2) 6(p12 + p1p2) = -6
(3) – 2(p13 + 3 p12p2) = 10
(4) 2p13p2 = m
Z (1) dostajemy, że:
(5) 3p1 + p2 = 1, czyli p2 = 1 – 3p1
Z (2) mamy, że:
p12 + p1p2 = -1
po podstawieniu p2 z równania (5) otrzymujemy
p12 + p1 (1 – 3p1)= -1
p12 + p1 – 3p12= -1
-2p12 + p1 + 1= 0
4. Znajdujemy pierwiastki tego równania kwadratowego:
a) wyróżnik trójmianu kwadratowego po lewej stronie równania
Δ = 12 – 4• (-2) •1 = 9
stąd
sqrt(Δ) = sqrt(9) = 3
b) co dalej daje nam pierwiastki
p11 = (-1 + 3)/(2 • (-2)) = 2/(-4) = -1/2 , oraz
p12 = (-1 - 3)/(2 • (-2)) = -4/(-4) = 1
Z obydwu odpowiednio wstawiając do (5) dostajemy:
p21 = 1 – 3 • (-1/2) = 1 + 3/2 = 5/2, oraz
p22 = 1 – 3 • 1 = -2
5. Sprawdzamy teraz, czy obie pary spełniają nam równanie (3)
– 2(p13 + 3 p12p2) = 10
po podstawieniu p11 i p21 dostajemy
- 2 ( (-1/2)3 + 3 (-1/2)2 • (5/2)) = -2 ((-1/8) + 3 • 1/4 • 5/2 ) = -2 ( -1/8 + 15/8 ) = - 2 • 14/8 = 14/4 = 3,5 co nie jest równe 10 i należy odrzucić
oraz po podstawieniu p12 i p22 dostajemy
- 2 ( (1)3 + 3 (1)2 • (-2)) = -2 ( 1 - 6) ) = 10 co jest równe 10 i należy przyjąć
6. W związku z tym, po podstawieniu do równania (4), otrzymujemy :
m = 2 • 13 • (-2) = -4
Odpowiedź:
Wielomian W(x)=2x4-2x3-6x2+10x+m ma pierwiastek potrójny dla m = -4. Dodatkowo mozemy stwierdzić, ze tym pierwiastkiem jest liczba 1. Drugim, pojedynczym pierwiastkiem jest liczba -2.
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 24 kwie 2007, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stad
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Dla jakich wartosci parametru m...
Eeeee bez obrazy mat1989 ale wole jednak sposob z pochodznymi
Pytanie do greey10... Czy jest jakies twierdzenie wiazace k-krotne pierwiastki wielomianu z pochodna [/b]
Pytanie do greey10... Czy jest jakies twierdzenie wiazace k-krotne pierwiastki wielomianu z pochodna [/b]
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Dla jakich wartosci parametru m...
Jeśli liczba p jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu to jest k-1-krotnym pierwiastkiem jego pochodnej.
Dowód:
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ p \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ k \mathbb{Z}, \, k qslant 1}\). Niech:
\(\displaystyle{ W(x) = (x - p)^{k}Q(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest dowolnym wielomianem niepodzielnym przez \(\displaystyle{ x - p}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ W'(x) = (x - p)^{k - 1}\cdot (k\cdot Q(x) + (x - p)\cdot Q'(x))}\)
Ponieważ wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ x - p}\), to również:
\(\displaystyle{ k\cdot Q(x) + (x - p)Q'(x)}\)
jest wielomianem niepodzielnym przez \(\displaystyle{ x - p}\)
c.k.d.
edit. uzupełnienie dowodu
Dowód:
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ p \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ k \mathbb{Z}, \, k qslant 1}\). Niech:
\(\displaystyle{ W(x) = (x - p)^{k}Q(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest dowolnym wielomianem niepodzielnym przez \(\displaystyle{ x - p}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ W'(x) = (x - p)^{k - 1}\cdot (k\cdot Q(x) + (x - p)\cdot Q'(x))}\)
Ponieważ wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ x - p}\), to również:
\(\displaystyle{ k\cdot Q(x) + (x - p)Q'(x)}\)
jest wielomianem niepodzielnym przez \(\displaystyle{ x - p}\)
c.k.d.
edit. uzupełnienie dowodu
Ostatnio zmieniony 7 maja 2007, o 17:28 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 24 kwie 2007, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stad
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Dla jakich wartosci parametru m...
dobrze wiedziec
i oczywiscie w tej pochodnej \(\displaystyle{ k-1}\) krotnym, a dlanastepnej \(\displaystyle{ k-2}\) krotnym tak
i oczywiscie w tej pochodnej \(\displaystyle{ k-1}\) krotnym, a dlanastepnej \(\displaystyle{ k-2}\) krotnym tak
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 24 kwie 2007, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stad
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Dla jakich wartosci parametru m...
Dzieki wielkie wszystkim za pmoc
Za tydzien maturka z matmy wiec na pewno jeszcze sie odezwe z jakimis problemami
Pozdrawiam
Za tydzien maturka z matmy wiec na pewno jeszcze sie odezwe z jakimis problemami
Pozdrawiam
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11404
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Dla jakich wartosci parametru m...
\(\displaystyle{ W^{\prime \prime}(x)=12(2x^2-x-1) = ...}\)
tj x=1 lub x=-0,5 ....
tj x=1 lub x=-0,5 ....